Xét $F(x)=\prod_{n=1}^{2013}(1+nx)$$F'(x)=\sum_{i=1}^{2013}[\frac{i}{1+ix}.\prod_{n=1}^{2013}(1+nx)] $
$F''(x)=[2(1+3x)(1+4x)...(1+2013x)+3(1+2x)(1+4x)...(1+2013x)+...+2013(1+2x)(1+3x)...(1+2012x)]+[2(1+2x)(1+4x)...(1+2013x)+2.3(1+x)(1+4x)...(1+2013x)+...+2.2013(1+x)(1+3x)...(1+2012x)]+...+[2013(1+2x)(1+3x)...(1+2012x)+2013.2(1+x)(1+3x)...(1+2012x)+...+2013.2012(1+x)(1+2x)...(1+2011x)]$
$\Rightarrow F'(0)=1(2+3+4+...+2013)+2(1+3+4+...+2013)+...+2013(1+2+3+4+...+2012)$
$=(1+2+3+...+2013)^2-(1^2+2^2+3^2+...+2013^2)$ (1)
Mặt khác: $F(x)=\sum_{n=0}^{2013}a_{n}x^n $
$F'(x)=\sum_{n=1}^{2013}na_{n}x^{n-1} $
$F''(x)=2a_2+2.3a_3x+...+2013.2012a_{2013}x^{2011}$
$\Rightarrow F'(0)=2a_2$ (2)
Từ (1) và (2), suy ra: $a_2=\frac{1}{2}(1+2+3+...+2013)^2-\frac{1}{2}(1^2+2^2+3^2+...+2013^2)$
Như vậy: $a_2+\frac{1}{2}(1^2+2^2+3^2+...+2013^2)=\frac{1}{2}(1+2+3+...+2013)^2=\frac{1}{2}(\frac{2013.2014}{2})^2$