Bất đẳng thức cơ bản không hoàn toàn

Question

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn

$a^2+b^2+c^2=3$ . Chứng minh rằng:

$P=\sum \frac{a}{\sqrt{2a^4+2a^2b+5b^2}+3}\leq \frac{1}{2}$

tran85295 · Answer 1 · 12/21/2015 11:42:20 AM

Ta có

$\sqrt{2a^4+2a^2b+5b^2}=\sqrt{(a^4+a^2b+a^2b+b^2)+a^4+4b^2}$

$\overset{AM-GM}{\ge} \sqrt{4a^2b+a^4+4b^2}=a^2+2b$

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{2a^4+2a^2b+5b^2}+3} \le \frac{a}{a^2+2b+3}$

Tương tự

$\Rightarrow \sum\frac{a}{\sqrt{2a^4+2a^2b+5b^2}+3} \le \sum \frac{a}{a^2+2b+3}$

$\Leftrightarrow P \le \sum \frac{a}{a^2+2b+3} =\sum\frac{a}{(a^2+1)+2b+2} \le \sum\frac{a}{2a+2b+2}$

Ta sẽ chứng minh

$\sum\frac{a}{2a+2b+2} \le \frac 12$

$\Leftrightarrow \sum\frac{a}{a+b+1} \le 1\Leftrightarrow \sum \frac{b+1}{a+b+1} \ge 2$

BĐT trên đúng do

$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum\frac{(b+1)^2}{(a+b)(a+b+1)} \ge \frac{(a+b+c+3)^2}{\sum(a+b)(a+b+1)}=2$ (khai triển k.hợp đk :D)

Vậy

$P \le \frac12$

Sửa 21-12-15 11:42 AM

tran85295
135 9

10M 559K

Trả lời 20-12-15 09:33 PM

tran85295
135 9

10M 559K

pro nhỉ,hihihi – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 21-12-15 01:35 PM

đệ anh mà =]] – Nero 20-12-15 09:53 PM

giỏi thế... – dolaemon 20-12-15 09:44 PM

1 Đáp án