Hệ phương trình cơ bản không hoàn toàn loại 2

Question

Giải hệ phương trình: $\begin{cases}\frac{\sqrt{(2-x)(x^2-y^2)-4y(1-y)}}{\sqrt{2x+2y-4}+x-y}=\sqrt{x} \\ x^3-2y^2+8x-7=(4y+1)\sqrt[3]{3x^2-8y+5} \end{cases}$

dolaemon · Answer 1 · 12/27/2015 10:42:10 AM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

ĐKXĐ:$x+y\geq 2,x\geq 0$ và ...
PT(1) $\Leftrightarrow \sqrt{x}(x-y)+\left[ {\sqrt{2x^2+2xy-4x}-\sqrt{(2-x)(x^2-y^2)-4y(1-y)}} \right]=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}(x-y)+\frac{(2x^2+2xy-4x)-(2-x)(x^2-y^2)+4y(1-y)}{\sqrt{2x^2+2xy-4x}+\sqrt{(2-x)(x^2-y^2)-4y(1-y)}}=0$
$\Leftrightarrow (x-y)\left ( \sqrt{x}+\frac{x^2+xy+2y-4}{\sqrt{2x^2+2xy-4x}+\sqrt{(2-x)(x^2-y^2)-4y(1-y)}} \right )=0$
Do ĐKXĐ: $\begin{cases}x+y\geq 2\Rightarrow y\geq 2-x \\ x\geq 0 \end{cases}\Rightarrow xy\geq 2x-x^2$
nên $x^2+xy+2y-4\geq x^2+2x-x^2+2y-4=2(x+y-2)\geq 0$
Suy ra (...) thứ 2 luôn dương. Suy ra x=y. Thay PT(2)
$x^3-2x^2+8x-7=(4x+1)\sqrt[3]{3x^2-8x+5}$
$\Leftrightarrow (x^3-6x^2+11x-6)+(4x+1)(x-1-\sqrt[3]{3x^2-8x+5})=0$
$\Leftrightarrow (x^3-6x^2+11x-6)\left ( 1+\frac{4x+1}{(x-1)^2+(x-1)\sqrt[3]{3x^2-8x+5}+(\sqrt[3]{3x^2-8x+5})^2} \right )=0$
$\Leftrightarrow x^3-6x^2+11x-6=0$ (ngoặc thứ 2 luôn dương với $x \geq 0$)
$\Leftrightarrow $ x=1;2;3 (loại x=1 do mẫu số ở pt1 =0)
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y)=(2;2),(3;3)

lịch sử

Sửa 27-12-15 10:42 AM

dolaemon
1

154K 158K

Trả lời 27-12-15 10:41 AM

dolaemon
1

154K 158K