$A$ thuộc tia $Ox$ nên $A(a;0)$. Do đường tròn $x^{2}+y^{2}=2$ nên tâm của đường tròn là $O(0;0)$. Khi đó các cạnh $AB$, $AC$ là các tiếp tuyến của đường tròn. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{OAB}=\widehat{OAC}=45^{o}$. Do đó $AB$ và $AC$ lần lượt song song với đường thẳng $y=x$ và $y=-x$.
$AB$ song song với $y=x$ nên có phương trình dạng $y=x-a$ hay $x-y-a=0$. Đường thẳng này tiếp xúc với đường tròn nên ta có:
$d_{(O;AB)}=r\Leftrightarrow \dfrac{|-a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow a=2$ (vì $A$ thuộc tia $Ox$ nên $a>0$).
Từ đó suy ra $A(2;0)$. Do đó đường thẳng $AB$ có phương trình $y=x-2$ và $AC$ có phương trình $y=-x+2$.
Để tam giác $ABC$ cân tại $A$ thì $BC$ phải vuông góc với tia $Ox$ (vì $OA$ là phân giác của góc tạo bới hai tiếp tuyến). Do đó $BC$ song song với trục tung. Do $BC$ tiếp xúc với đường tròn nên hoành độ của $B$ và $C$ là $-\sqrt{2}$. Vậy $B(-\sqrt{2};\sqrt{2}+2)$ và $C(-\sqrt{2};-\sqrt{2}-2)$