Mọi người làm nhanh hộ em

Question

Cho

$a, b, c > 0$ thỏa mãn

$a^{4} + b^{4} + c^{4} = 3$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca} \leq 1$

(Moldova TST)

score 1 · Answer 1

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

BĐT schur là $a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-c)(b-a)+c^r(c-a)(c-b)\ge 0$

Bloody's Rose · Answer 2 · 3/8/2016 10:06:41 PM

Bình chọn tăng 11 Bình chọn giảm

Quy đồng mẫu số rồi khai triển ,ta cần cm:

49-8(ab+bc+ca)+(a+b+c)abc

$\leq$ 64-16(ab+bc+ca)+4(a+b+c)abc-

$a^{2}$

$b^{2}$

$c^{2}$

$\Leftrightarrow$ 16+3(a+b+c)abc

$\geq$

$a^{2}$

$b^{2}$

$c^{2}$ +8(ab+bc+ca)

Thật vậy:

Áp dụng BĐT Schur &gt

$a^{4}$ +

$b^{4}$ +

$c^{4}$ =3,ta có:

(

$a^{3}$ +

$b^{3}$ +

$c^{3}$ +3abc)(a+b+c)

$\geq$ (ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))(a+b+c)

$\Leftrightarrow$ 3+3abc(a+b+c)

$\geq$

$(ab+bc)^{2}$ +

$(bc+ca)^{2}$ +

$(ca+ab)^{2}$ (1)

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\Sigma$

$(ab+bc)^{2}$ +12

$\geq$ 8(ab+bc+ca)(2)

Lại có:1

$\geq$

$a^{2}$

$b^{2}$

$c^{2}$ (3)

Từ(1)(2)(3)

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu''='' xra

$\Leftrightarrow$ a=b=c=1

Trả lời 08-03-16 10:06 PM

Bloody's Rose
430 6

142K 705K

c ơi cho e hỏi BĐT schur là j ak?e ko bt – ๖ۣۜConan♥doyleღ 08-03-16 10:14 PM

Hỏi	04-03-16 09:10 PM
Lượt xem	1993
Hoạt động	09-03-16 08:46 PM

Mọi người làm nhanh hộ em

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Mọi người làm nhanh hộ em

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan