Đặt $\sqrt[6]{\frac ab}=x,\sqrt[6]{\frac bc}=y,\sqrt[6]{\frac ca}=z(x,y,z >0)$
Áp dụng bđt bunhia
$VP=\sqrt[3]{3(a+b+c)(\frac 1b + \frac 1c +\frac 1a)} \ge \sqrt[3]{3(\sqrt{ \frac ab}+\sqrt{\frac bc}+\sqrt{\frac ca})^2}$$=\sqrt[3]{3(x^3+y^3+z^3)^2}$
Lại có $VT=x^2+y^2+z^2$
Nên ta chứng minh $x^2+y^2+z^2 \le \sqrt[3]{3(x^3+y^3+z^3)^2}$
$\Leftrightarrow (1+1+1)(x^3+y^3+z^3)(x^3+y^3+z^3) \ge (x^2+y^2+z^2)^3$ (đúng theo bđt holder)
Vậy ta có đpcm, $"="\Leftrightarrow a=b=c$