$$\color{green}{\begin{cases}y^{2}+(4x-1)^{2}=\sqrt[3]{4x(8x+1)} \\ 40x^{2}+x=y\sqrt{14x-1}\end{cases}}$$Điều kiện: $x \ge \frac{1}{14}.$
Lấy PT $(1)+2.$ PT $(2),$ ta được:
$y^{2}+(4x-1)^{2}+2(40x^{2}+x)=\sqrt[3]{4x(8x+1)}+2y\sqrt{14x-1}$ $(1)$
Mặt khác, ta có:
$\sqrt[3]{4x(8x+1)}+2y\sqrt{14x-1}=\sqrt[3]{8x.\frac{8x+1}{2}.1}+2y\sqrt{14x-1}$
$\le \frac{1}{3}(8x+\frac{8x+1}{2}+1)+y^2+14x-1=y^2+(4x-1)^2+2(40x^2+x)-\frac{3}{2}(8x-1)^2$
$\le y^2+(4x-1)^2+2(40x^2+x)$ $(2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{1}{8};y=\frac{\sqrt3}{2}.$
Kết luận: hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\color{red}{(x;y)=(\frac{1}{8};\frac{\sqrt3}{2})}$