Không mất tính tổng quát, giả sử $x = \max\{x,y,z\}$Vì $xyz =1\Rightarrow x \ge 1$
$P=\frac{\sqrt x}{1+x+xy}+\frac{\sqrt y.x}{(1+y+yz).x}+\frac{\sqrt z.xy}{(1+z+xz).xy}$
$=\frac{\sqrt x+\sqrt yx+\sqrt zxy}{1+x+xy}=\frac{\sqrt x+\sqrt yx+\sqrt{xy}}{xy+(x+1)} \le \frac{\sqrt x+\sqrt yx+\sqrt{xy}}{xy+2\sqrt x}$
Ta chứng minh $\frac{\sqrt x+\sqrt yx+\sqrt{xy}}{xy+2\sqrt x} \le 1(*)$
Thật vậy $(*)\Leftrightarrow \sqrt x +\sqrt yx +\sqrt{xy} \le 2\sqrt x +xy$
$\Leftrightarrow y\sqrt x+1-\sqrt y-\sqrt {xy} \ge 0\Leftrightarrow (\sqrt y-1)(\sqrt{xy}-1) \ge 0 $ (luôn đúng do $x \ge 1$)
Nên $P \le 1\Leftrightarrow P_{Max}=1$. Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$