bất đẳng thức nha!!!

Question

cho

$x,y,z >0$ thỏa mãn

$xyz=1$ .tìm

$max$

$P=\frac{\sqrt{x}}{1+x+xy}+\frac{\sqrt{y}}{1+y+yz} +\frac{\sqrt{z}}{1+z+zx}$

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ · Answer 1 · 3/20/2016 3:42:21 PM

Do

$xyz=1$ nên ta đặt

$\sqrt x = \frac ab;\sqrt y= \frac bc;\sqrt z =\frac ca$

$\Rightarrow \frac{\sqrt x}{1+x+xy}=\frac{abc^2}{b^2c^2+a^2b^2+a^2c^2}$

$\Rightarrow P=\frac{abc(a+b+c)}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$

Dễ dàng CM mẫu

$\ge$ tử nên

$P\le1$

Dấu bằng xảy ra khi

$a=b=c$ hay

$x=y=z=1$

Trả lời 20-03-16 03:42 PM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
41 4

10M 1M

tran85295 · Answer 2 · 3/20/2016 3:19:48 PM

Không mất tính tổng quát, giả sử

$x = \max\{x,y,z\}$

Vì

$xyz =1\Rightarrow x \ge 1$

$P=\frac{\sqrt x}{1+x+xy}+\frac{\sqrt y.x}{(1+y+yz).x}+\frac{\sqrt z.xy}{(1+z+xz).xy}$

$=\frac{\sqrt x+\sqrt yx+\sqrt zxy}{1+x+xy}=\frac{\sqrt x+\sqrt yx+\sqrt{xy}}{xy+(x+1)} \le \frac{\sqrt x+\sqrt yx+\sqrt{xy}}{xy+2\sqrt x}$

Ta chứng minh

$\frac{\sqrt x+\sqrt yx+\sqrt{xy}}{xy+2\sqrt x} \le 1(*)$

Thật vậy

$(*)\Leftrightarrow \sqrt x +\sqrt yx +\sqrt{xy} \le 2\sqrt x +xy$

$\Leftrightarrow y\sqrt x+1-\sqrt y-\sqrt {xy} \ge 0\Leftrightarrow (\sqrt y-1)(\sqrt{xy}-1) \ge 0$ (luôn đúng do

$x \ge 1$ )

Nên

$P \le 1\Leftrightarrow P_{Max}=1$ . Dấu = xảy ra khi

$x=y=z=1$

2 Đáp án