BĐT

Question

Cho

$a;b;c>0;abc=1$ .CMR:

$\frac{a}{2a^{3}+1}+\frac{b}{2b^{3}+1}+\frac{c}{2c^{3}+1}\leq 1$

tran85295 · Answer 1 · 3/20/2016 8:45:03 PM

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

Dễ dàng c/m bđt sau

$\frac{2a}{2a^3+1} \le\frac{a^2+1}{a^4+a^2+1}$

Áp dụng

$\Rightarrow VT \le \frac{1}{2}\sum \frac{a^2+1}{a^4+a^2+1}$

Vậy ta chỉ cần cm

$\sum \frac{a^2+1}{a^4+a^2+1} \le 2\Leftrightarrow \sum\frac{a^4}{a^4+a^2+1} \ge 1\Leftrightarrow \sum\frac{1} {1+(\frac{1}{a^2})+(\frac{1}{a^2})^2} \ge 1$

Luôn đúng sau khi áp dụng bài toán sau :

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/128611/mot-ket-qua-dep

$\Rightarrow$

Trả lời 20-03-16 08:45 PM

tran85295
135 9

10M 559K

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★ · Answer 2 · 3/26/2016 5:01:41 PM

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Cách khác luôn nè

Ta có

$\frac{a}{2a^3+1}=\frac{a}{2a^3+abc}=\frac{1}{2a^2+bc}= \frac{1}{a^2+a^2+bc}\leq \frac{1}{a^2+2a\sqrt{bc}}=\frac{1}{a^2+2\sqrt{a}}$

Xét

$a^2+2\sqrt{a}-3$ ta có : Đặt t=

$\sqrt{a}\Rightarrow t\geq 0$

Ta có

$a^2-2\sqrt{a}-3=t^4-2t^2-3=(t-1)(t^3+t^2+3t+3)\geq 0$ Đúng vì t \geq 0

Do đó ta chứng minh được phân thức đầu tiên luôn nhỏ hơn 1/3 tương tự công lại ta có đpcm

Trả lời 26-03-16 05:01 PM

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
-27 1 5

698K 307K

3

Hỏi	20-03-16 07:38 PM
Lượt xem	1822
Hoạt động	26-03-16 05:01 PM

BĐT

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

BĐT

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan