giúp tôi với

Question

Cho tam giác ABC cân có cạnh bên bằng b và nội tiếp đường tròn (O;R). Tính côsin các góc, r. Tìm b để diện tích tam giác có giá trị lớn nhất

score 2 · Answer 1

Giả sử

$\Delta ABC$ cân tại

$A$ .

i/ Vẽ tia

$AO$ cắt

$BC$ và

$(O;R)$ tại

$D$ và

$E$ . Khi đó

$D$ là trung điểm của

$BC$ ,

$AD$ vuông góc với

$BC$ và

$\widehat{ABE} = 90^0$ . Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông suy ra

$AD=\frac{AB^2}{AE} = \frac{b^2}{2R}$ . Từ định lí Pythagoras suy ra

$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\frac{b\sqrt{4R^2-b^2}}{2R}$ .

Từ đó có

$cosB=cosC=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{4R^2-b^2}}{2R}$ ;

$cosA=cos(180^0-2B)=-cos2B=1-2cos^2B=1-2.\frac{4R^2-b^2}{4R^2}=\frac{b^2-2R^2}{2R^2}$ .

ii/ Với các kết quả

$AD=\frac{b^2}{2R}$ ,

$BC=2BD=\frac{b\sqrt{4R^2-b^2}}{R}$ thì có

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AD.BC=\frac{b^3\sqrt{4R^2-b^2}}{4R^2}=\frac{\sqrt{b^6(4R^2-b^2)}}{4R^2}$ .

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM thì được

$b^6(4R^2-b^2)=27.\frac{b^2}{3}. \frac{b^2}{3}. \frac{b^2}{3}. (4R^2-b^2)\leq \frac{(\frac{b^2}{3}+\frac{b^2}{3}+\frac{b^2}{3}+4R^2-b^2)^4}{256}=27R^8$ .

Do đó

$S_{\Delta ABC}\leq \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$ . Dấu bằng xảy ra khi

$\frac{b^2}{3}=4R^2-b^2$ , hay

$b=R\sqrt{3}$ (khi đó

$ABC$ là tam giác đều).

Hỏi	25-03-16 09:32 PM
Lượt xem	983
Hoạt động	26-03-16 01:47 PM

giúp tôi với

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

giúp tôi với

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan