Vì bđt có dạng thuần nhất nên chuẩn hóa a+b+c=1VT=∑a25a2+(1−a)2=∑a26a2−2a+1
∗TH1:min{a,b,c}>18
Ta có a26a2−2a+1≤12a−127⇔(3x−1)2(8x−1)≥0 (luôn đúng )
Thiết lập tương tự ⇒VT≤12(a+b+c)−327=13
∗TH2:min{a,b,c}≤18
Giả sử c=min{a,b,c}⇒0≤c≤18
Ta có a26a2−2a+1≤4a+118⇔(2x−1)2(6x+1) (luôn đúng )
Thiết lập tương tự ⇒b26b2−2b+1≤4b+118
⇒VT≤4(a+b)+218+c26c2−2c+1
=−2c+39+c26c2−2c+1
=−12c3+31c2−8c+39(6c2−2c+1)
Mà −12c3+31c2−8c+39(6c2−2c+1)≤13⇔c(12c2−13c+2)≥0 (đúng ∀c∈[0;18])
Vậy bđt đc chứng minh, đẳng thức xảy ra khi a=b=c;a=b,c=0 hoặc các hoán vị