Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thõa mãn $x+y+z=1$

Question

Tìm GTNN của biểu thức

$P=x^3+y^3+\frac 12z^3$

tran85295 · Answer 1 · 4/10/2016 10:39:13 PM

Ta có :

$x^3+\left(\frac{2-\sqrt 2}2\right)^3+\left(\frac{2-\sqrt 2}2\right)^3 \ge 3\left(\frac{2-\sqrt 2}2\right)^2x$

$y^3+\left(\frac{2-\sqrt 2}2\right)^3+\left(\frac{2-\sqrt 2}2\right)^3 \ge 3\left(\frac{2-\sqrt 2}2\right)^2y$

$\frac {z^3}2+\sqrt 2\left(\frac{2-\sqrt 2}2\right)^3+\sqrt 2\left(\frac{2-\sqrt 2}2\right)^3 \ge 3\left(\frac{2-\sqrt 2}2\right)^2x$

$\Rightarrow x^3+y^3+\frac{z^3}3+(4+2\sqrt 2)\left(\frac{2-\sqrt 2}2\right)^3 \ge 3\left(\frac{2-\sqrt 2}2\right)^2$

$\Rightarrow A \ge \frac{3-2\sqrt 2}{2}$

Dấu

$"="$ xảy ra

$\Leftrightarrow x=y= \frac{2-\sqrt 2}2, z=\sqrt 2-1$

Trả lời 10-04-16 10:39 PM

tran85295
135 9

10M 559K

anh biết cơ mà nhìn ghê quá em ạ :v – ๖ۣۜDevilღ 10-04-16 11:48 PM

cái này là tham số hóa a chỉ đó :3 – tran85295 10-04-16 11:45 PM

mẹ ơi :3 – ๖ۣۜDevilღ 10-04-16 11:42 PM

tran85295 · Answer 2 · 4/10/2016 11:02:16 PM

Cách 2 : Ta có

$x^3+y^3 \ge \frac{(x+y)^3}{4}=\frac {(1-z)^3}4$

Nên

$P \ge \frac{(1-z)^3}{4}+\frac{z^3}2=\frac{z^3+3z^2-3z+1}{4}$

Dùng bbt nếu bạn học r :))

Nếu chưa học thì dùng bđt cô si :

$z^3+3z^2-3z+1$

$=z^3+(3-2\sqrt 2)x+3x^2+(2\sqrt 2-6)x+1$

$2\sqrt{3-2\sqrt 2}x^2+3x^2+(2\sqrt 2-6)x+1$

$=(2\sqrt 2+1)x^2+2(\sqrt 2-3)x+1 \ge 6-4\sqrt 2$

$\Rightarrow P \ge \frac{3-2\sqrt2}{2}$

Trả lời 10-04-16 11:02 PM

tran85295
135 9

10M 559K

vâng :D – tran85295 10-04-16 11:27 PM

thế e dùng tham số hóa tìm điểm rơi à? – dolaemon 10-04-16 11:25 PM

ở cái lời giải trước ấy :D – tran85295 10-04-16 11:24 PM

thế thì làm sao mà e biết điểm rơi? – dolaemon 10-04-16 11:23 PM

e chỉ biết lập bbt là ra thôi :v – tran85295 10-04-16 11:19 PM

à ko :v e có biết lập đâu :v – tran85295 10-04-16 11:19 PM

tưởng nam lớp 10 mà đã nghịch cả BBT rồi à? – dolaemon 10-04-16 11:16 PM

2 Đáp án