CM Bất Đẳng Thức

Question

cho $a,b,c >0.$

CMR: $\frac{5b^{3}-a^{3}}{ab+3b^{2}} + \frac{5a^{3}-c^{3}}{ac+3a^{2}} + \frac{5c^{3}-b^{3}}{bc+3c^{2}} \leq (a+b+c)$

Bloody's Rose · Answer 1 · 5/2/2016 4:55:39 PM

Xét bất đẳng thức phụ :

$\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\leq 2b-a$$\Leftrightarrow $$5b^3-a^3\leq (2b-a)(ab+3b^2)$$\Leftrightarrow $$a^2b+ab^2\leq a^3+b^3$

$\Leftrightarrow$$ (a-b)^2(a+b)\geq 0$ ( Đúng với mọi a,b duơng)

Dấu bằng xảy ra khi a=b

CHứng minh tt cho các phân thức còn lại rồi cộng lại ta có đpcm

lịch sử

Sửa 02-05-16 04:55 PM

Bloody's Rose
430 6

142K 705K

Trả lời 02-05-16 04:53 PM

★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★
-27 1 5

698K 307K

3

Vote giúp mình nhé – ★·.·´¯`·.·★Poseidon★·.·´¯`·.·★ 02-05-16 04:53 PM

tasfuskau · Answer 2 · 4/30/2016 8:02:48 PM

đpcm <=> [b - (5b³ - a³)/(ab + 3b²)] + [c - (5c³ - b³)/(bc + 3c²)] + [a - (5a³ - c³)/(ca + 3a²)] ≥ 0
ta có:
b - (5b³ - a³)/(ab + 3b²) = (ab² + a³ - 2b³)/(ab + 3b²) ≥ (2a²b - 2b³)/(ab + 3b²) = 2(a² - b²)/(a + 3b)
do theo Cosi: ab² + a³ ≥ 2√(ab².a³) = 2a²b
hoàn toàn tương tự ta cm đc:
c - (5c³ - b³)/(bc + 3c²) ≥ 2(b² - c²)/(b + 3c)
a - (5a³ - c³)/(ca + 3a²) ≥ 2(c² - a²)/(c + 3a)
Như vậy để cm bđt đã cho, ta sẽ cm:
2(a² - b²)/(a + 3b) + 2(b² - c²)/(b + 3c) + 2(c² - a²)/(c + 3a) ≥ 0

<=> (a² - b²)/(a + 3b) + (b² - c²)/(b + 3c) + (c² - a²)/(c + 3a) ≥ 0

<=> (a² - 9b²)/(a + 3b) + 8b²/(a + 3b)
+ (b² - 9c²)/(b + 3c) + 8c²/(b + 3c)
+ (c² - 9a²)/(c + 3a) + 8a²/(c + 3a) ≥ 0

<=> (a - 3b) + 8b²/(a + 3b) + (b - 3c) + 8c²/(b + 3c) + (c - 3a)/(c + 3a) + 8a²/(c + 3a) ≥ 0

<=> 8b²/(a + 3b) + 8c²/(b + 3c) + 8a²/(c + 3a) ≥ 2(a + b + c)

<=> 4b²/(a + 3b) + 4c²/(b + 3c) + 4a²/(c + 3a) ≥ a + b + c

Ta dễ dàng cm đc bđt cuối theo Cosi - Svacxơ:
4b²/(a + 3b) + 4c²/(b + 3c) + 4a²/(c + 3a) ≥ (2a + 2b + 2c)²/(a + 3b + b + 3c + c + 3a) = a + b + c
hoặc cm bằng Cosi như sau:
4b²/(a + 3b) + (a + 3b)/4 ≥ 2b hay 4a²/(a + 3b) ≥ (5b - a)/4
tương tự:
4c²/(b + 3c) ≥ (5c - b)/4
4a²/(c + 3a) ≥ (5a - c)/4
Cộng vế 3 bđt này lại ta cm đc bđt cuối.
Tóm lại bđt ban đầu đc cm. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c •