Giả thiết bài toán $\Leftrightarrow xy^2+\frac{x^2}{z}+\frac{y}{z^2}=3$Đổi biến $(x,y,\frac 1z)$~$(a,b,c)\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2=3$
Theo bdt C-S :
$9=(ab^2+bc^2+ca^2) ^2\le (a^2+b^2+c^2)(b^4+c^4+a^4) \le\sqrt{3(a^4+b^4+c^4)}(a^4+b^4+c^4)$
$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4 \ge 3$
~~~~~~~~~
Lại có $P=\frac{1}{\dfrac{1}{z^4}+x^4+y^4}=\frac{1}{a^4+b^4+c^4} \le \frac 13$
~~~~~~~~
Nên $\max P=\frac 13$ đạt đc khi $x=y=z=1$