Vì a≥1 nên y=√a+cosx+√a+sinx≥0 với mọi xϵR=> z=y2=2a+cosx+sinx+2√a2+a(sinx+cosx+sinxcosx)
Đặt t=sinx+xosx=√2sin(x+π4),|t|≤√2
=> t2=1+2sinxcosx
<=> sinxcosx=t2−12
=> z=2a+t+√2√(t+a)2+a2−1
1) Nếu a=1 thì z=2+t+√2.(t+1)2 ≥ 2+t
Dấu "=" xảy ra khi t+1=0 <=> t=−1
2) Nếu a>1 thì z′=1+√2(t+a)√(t+a)2+a2−1 xác định với mọi t
a) t+a≥0 <=> t≥−a <=> z′=0 vô nghiệm
b) t+a<0<=> t<−a <=> z′=0
<=> 1+√2(t+a)√(t+a)2+a2−1=0
<=> √(t+a)2+a2−1=−√2(t+a)
<=> (t+a)2=a2−1
<=> t=−a+√a2−1>−a (loại) hoặc t=−a−√a2−1
+) Giả sử −a−√a2−1≤√2
=> a≥3√24
=> z′≥0khit<−√2, chứng tỏ hàm đồng biến trên [−√2;√2]
=> min|t|≤√2z=z(−√2)
=> min|t≤√2y=y(−√2)=√4a−2√2
+) Giả sử −√2≤−a−√a2−1≤√2
=> 1≤a≤3√24
Trường hợp này ta có bàng biến thiên:
........................................................
min|t|≤√2z=z(−a−√a2−1=a+√a2−1
=> min|t|≤√2y=√a+√a2−1
Kết luận: Nếu 1≤a≤3√24: miny=√a+√a2−1