Cho $(O;R)$ đường kính $AB$ cố định. Dây $CD$ di động vuông góc với $AB$ tại $H$ nằm giữa $A$ và $O$. Lấy điểm $F$ thuộc cung $AC$ nhỏ. $BF$ cắt $CD$ tại $E; AF$ cắt tia $DC$ tại $I$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $AHEF$ là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: $HA.HB = HE.HI$
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $IEF$ cắt $AE$ tại $M$. Chứng minh rằng: $M$ thuộc $(O;R)$
d) Tìm vị trí của $H$ trên $OA$ để tam giác $OHD$ có chu vi lớn nhất.