Giả sử các căn thức bậc hai trong hệ là xác định. Khi đó $4+2xy=\sqrt{x}+\sqrt{y}+2(x^2+y^2)\geq 2\sqrt[4]{xy}+4xy$; suy ra $xy+\sqrt[4]{xy}-2\leq0$, suy ra $xy\leq 1$.
Lại có $6=x\sqrt{3x^2+6xy}+y\sqrt{3y^2+6xy}\leq x(2x+y)+y(2y+x)=2(x^2+y^2)+2xy$;
suy ra $x^2+y^2\geq3-xy$.
Thành thử $4+2xy=\sqrt{x}+\sqrt{y}+2(x^2+y^2)\geq 2\sqrt[4]{xy}+2(3-xy)$;
suy ra $2xy-\sqrt[4]{xy}-1\geq0$; suy ra $xy\geq 1$.