Đặt $ t=e^x+2 \Rightarrow dt=e^xdx$Đổi cận: $x=0 \Rightarrow t=3 $ và $x=ln6 \Rightarrow t=8$
$I=\int\limits_{3}^{8}\frac{(t-2)\sqrt{t+1}}{t}dt$
Đặt $u=\sqrt{t+1} \Rightarrow u^2=t+1\Rightarrow 2udu=dt$
Đổi cận: $t=3 \Rightarrow u=2$ và $t=8 \Rightarrow u=3$
$I=\int\limits_{2}^{3}\frac{2u^2(u^2-3)}{u^2-1}du$
$=\int\limits_{2}^{3}(2u^2-4-\frac{4}{u^2-1})du$
$=\int\limits_{2}^{3}(2u^2-4)du - 2\int\limits_{2}^{3}(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1})du$
$=\frac{26}{3}-2ln\frac{3}{2}$