:3

Question

cho các số thực x,y,z thỏa mãn x>2, y>1, z>0. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P= $\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-2(2x+y-3)}}-\frac{1}{y(x-1)(z+1)}$

Toán Cấp 3 · Answer 1 · 6/5/2016 3:01:53 PM

Đặt

$a=x-2>0,b=y-1>0,c=z>0$

Ta có:

$x^2+y^2+z^2-2(2x+y-3)=x^2-4x+4+y^2-2y+1+z^2+1=(x-2)^2+(y-1)^2+z^2+1=a^2+b^2+c^2+1$

và

$y(x-1)(z+1)=(b+1)(a+1)(c+1)$

$\Rightarrow P=\frac{1}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}-\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Ta có:

$a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}(1)$

tương tự:

$c^2+1^2\geq \frac{(c+1)^2}{2}(2)$

Từ

$(1),(2)$ suy ra:

$a^2+b^2+c^2+1\geq \frac{1}{2}[(a+b)^2+(c+1)^2]\geq \frac{1}{4}(a+b+c+1)^2$

Từ đây, suy ra:

$\frac{1}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}\leq \frac{1}{a+b+c+1}$

Ta có

$(a+1)(b+1)(c+1)\leq \frac{(a+1+b+1+c+1)^3}{27}\Rightarrow -\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}\leq -\frac{27}{(a+b+c+3)^3}$

Đặt

$t=a+b+c+1(t>1)$

ta sẽ được:

$P\leq \frac{1}{t}-\frac{27}{(t+2)^3},t>1$

kshs

$f(t)=\frac{1}{t}-\frac{27}{(t+2)^3},t>1$

Sẽ tìm đc

$f_{max}=4$ khi

$t=4\Rightarrow a=b=c=1\Rightarrow x=3,y=2,z=1$