Điều kiện $y \ge 0,x+2 \ge0$
$\sqrt{2(x-y)^2+10x-6y+12}\\=\sqrt{2(x+2-y)^2+2(x+2+y)} \ge \sqrt{2(x+2+y)} \ge \sqrt{x+2}+\sqrt y$Từ đó dễ dàng thấy $pt(2)\Leftrightarrow y=x+2$
Thế $y=x+2$ vào $pt(1): \sqrt{x^2-4x+13}-\sqrt[3]{x^2-4x+12}=1$
Đặt $\begin{cases}x^2-4x+12=z^3 \\ x^2-4x+13=t^2 \end{cases}$
Dễ thấy $z^3=(x-2)^2+8 \ge 8\Leftrightarrow z \ge 2$
Và $ \begin{cases}t-z=1 \\ t^2-z^3=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}t=z+1 \\ z^3+1-(z+1)^2=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}t=z+1 \\ z(z+1)(z-2)=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}t=3 \\ z=2 \end{cases}\Leftrightarrow x=2$
Vậy $(x;y)=(2;4)$