Với mọi $a,b \in \mathbb{R},$ ta có $\color{red}{3(a^2-a+1)(b^2-b+1) \ge 2(a^2b^2-ab+1)}$Áp dụng ta có $VT \ge\frac{\sqrt 5-3}{2(a^2b^2-ab+1)}+\frac{1}{c^2-c+1}=\frac{\sqrt5- 3}{2.(\frac 1{c^2}-\frac 1c+1)}+\frac{1}{c^2-c+1}$
$=\frac{(\sqrt 5- 3)c^2+2}{c^2-c+1}$
Lại có $\frac{(\sqrt 5- 3)c^2+2}{c^2-c+1} \ge \frac{1-\sqrt 5}{3}\Leftrightarrow \left(c-\frac{7+3\sqrt 5}{2}\right)^2 \ge0$ (luôn đúng)
Vậy bdt đc chứng minh, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{3-\sqrt 5}{2},c=\frac{7+3\sqrt 5}{2}$