gấp toán 10

Question

giải hệ phương trình

$\begin{cases}x+\frac{1}{\sqrt{y}}= 2\\ y+\frac{1}{\sqrt{x}}= 2\end{cases}$

score 5 · Answer 1

Điều kiện của hệ là

$x>0$ ,

$y>0$ .

Hệ cần giải tương đương với

$\begin{cases}(x-y)+\frac{1}{\sqrt{y}}-\frac{1}{\sqrt{x}}= 0\\ x+\frac{1}{\sqrt{y}}=2 \end{cases}$ ,

hay

$\begin{cases}(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{xy}})= 0\\ x\sqrt{y}-2\sqrt{y}+1=0 \end{cases}$ ,

hay

$\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}= 0\\ x\sqrt{y}-2\sqrt{y}+1=0 \end{cases}$ (vì

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{xy}}>0$ ),

hay

$\begin{cases}y=x\\ x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+1=0 \end{cases}$ ,

hay

$\begin{cases}y=x\\ (\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}-1)=0 \end{cases}$ .

Giải hệ này và được

$(x;y)=(1;1)$ hoặc

$(x;y)=(\frac{3-\sqrt{5}}{2};\frac{3-\sqrt{5}}{2})$ . Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện của hệ.

Vậy, hệ có hai nghiệm phân biệt, đó là

$(x;y)=(1;1)$ hoặc

$(x;y)=(\frac{3-\sqrt{5}}{2};\frac{3-\sqrt{5}}{2})$ .

1 Đáp án