câu này nên làm ntn??????????

Question

$\int\limits_{\frac{pi}{3}}^{pi} \frac{1}{2+\sqrt{3}\sin x-\cos x}dx$

tritanngo99 · Answer 1 · 7/3/2016 4:29:39 PM

Bài này khá là vui:

Đặt

$I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \frac{1}{2+\sqrt{3}sin(x)-cos(x)}dx$

$=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \frac{1}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}sin(x)-\frac{1}{2}cos(x)}dx$

$=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \frac{1}{1+sin(x-\frac{\pi}{6})}dx$ .

Do

$\frac{\pi}{3}\le x\le \pi$ nên

$sin(x-\frac{\pi}{6}),cos(x-\frac{\pi}{6})>0$ .

Đặt

$t=sin(x-\frac{\pi}{6})\implies dt=cos(x-\frac{\pi}{6})dx=\sqrt{1-t^2}dx$ .

Đổi cận:

$x=\pi\implies t=\frac{1}{2};x=\frac{\pi}{3}\implies t=\frac{1}{2}$ .

$\implies I=\frac{1}{2}\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{dt}{(1+t)\sqrt{1-t^2}}=0$

(Do hai cận trên và dưới có giá trị bằng nhau).

1 Đáp án