Chứng minh rằng: $\frac{a^2+3b^2}{a+3b}+\frac{b^2+3c^2}{b+3c}+\frac{c^2+3a^2}{c+3a}\geq 3$

Question

Cho

$\left\{ \begin{array}{l} a,b,c>0\\ a^2+b^2+c^2=3 \end{array} \right..$ Chứng minh rằng:

$\frac{a^2+3b^2}{a+3b}+\frac{b^2+3c^2}{b+3c}+\frac{c^2+3a^2}{c+3a}\geq 3$

Confusion · Answer 1 · 8/19/2016 9:17:21 AM

Giải thử xem đúng không nhé! Không đúng đừng spam đấy!

Đặt vế trái là P ta có :

$P=\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b}=\sum (\frac{1}{4}a+\frac{3}{4}b+\frac{3}{4}.\frac{(a-b)^2}{a+3b})$

$P=a+b+c+\frac{3}{4}.\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b}$ .

Cần chứng minh :

$P=a+b+c+\frac{3}{4}. \sum\frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq 3$

Giả sử tồn tại

$m>0$ sao cho

$a+3b< m(a+b+c) \Rightarrow \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq \frac{(a-b)^2}{m(a+b+c)}$

Tương tự cho 3 phân thức còn lại ta có :

$\frac{3}{4}.\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b} \geq \frac{3}{4}.\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m(a+b+c)}$

Ta có :

$a+b+c+\frac{3}{4}.\sum \frac{(a-b)^2}{a+3b} \geq a+b+c+\frac{3}{4}.\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{m.(a+b+c)}=A$

Cần chứng minh

$A \geq 3 \Leftrightarrow a+b+c+............... \geq 3$ .

$\Leftrightarrow m(a+b+c)^2+\frac{3}{2}.(a^2+b^2+c^2)-\frac{3}{2}.(ab+bc+ca)\geq 3m (a+b+c)$

$\Leftrightarrow (\frac{3}{2}+m)(a^2+b^2+c^2)+(2m-\frac{3}{2})(ab+ac+bc)\geq 3m(a+b+c)$

$(*)$

Lại có

$a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} =3 \Rightarrow 3m(a+b+c) \leq 9m$

Cần chứng minh

$(\frac{3}{2}+m).3+(2m-\frac{3}{2})(ab+bc+ca)\geq 9m \Leftrightarrow (2m-\frac{3}{2})(ab+ac+bc) \geq 6m-\frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow ab+ac+bc \geq 3\Rightarrow ab+ac+bc \geq a^2+b^2+c^2$

$??????????$

Sao lại ra sai nhỉ ???? Ai biết tại sao không vậy????

Bất đẳng thức tổng quát sau có đúng không nhỉ????

Cho

$a,b,c>0$ và

$a^2+b^2+c^2=k$ . Chứng minh rằng :

$\sum \frac{a^2+kb^2}{a+kb} \geq k$

1 Đáp án