Cho $a,b,c \in [1;2]$.Chứng minh :

Question

$\frac{(a+b)^2}{c^2+4(ab+bc+ca)} \ge \frac 16$

tran85295 · Answer 1 · 7/15/2016 11:09:02 AM

$dpcm\Leftrightarrow 6a^2+12ab+6b^2 \ge c^2+4ab+4bc+4ca$

$\Leftrightarrow 6a^2+8ab+6b^2=c^2+4c(a+b)$

Dễ dàng chứng minh $6a^2+8ab+6b^2 \ge 5(a+b)^2$

Do đó ta chỉ cẩn chứng minh $5(a+b)^2 \ge c^2+4c(a+b)\Leftrightarrow (a+b-c)(5a+5b+c) \ge0$

$\Leftrightarrow a+b \ge c$

Điều này luôn đúng do $a+b \ge 1+1=2 \vee c \le 2$

Vậy dpcm đúng, dấu = xra $\Leftrightarrow a=b=1 \vee c=2$

Trả lời 15-07-16 11:09 AM

tran85295
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Nguyễn Nhung · Answer 2 · 7/15/2016 11:08:07 AM

VT=$\frac{(a+b)^{2}}{c^{2}+4c(a+b)+4ab}\geq \frac{(a+b)^{2}}{c^{2}+4c(a+b)+(a+b)^{2}}$

$= \frac{(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})^{2}}{1+4(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})+(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})^{2}}$

Đặt $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=t$

ta cần CM

$\frac{t^{2}}{1+4t+t^{2}}\geq \frac{1}{6}$

$\Leftrightarrow 5t^{2}-4t-1\geq 0\Leftrightarrow (t-1)(5t+1)\geq0$

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=1;c=2$

Trả lời 15-07-16 11:08 AM

Nguyễn Nhung
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