Ta CM Bổ đề sau
x2+y2+z2+2xyz+1≥2(xy+yz+zx) với x;y;z không âm
Để ý trong 3 số x;y;z tồn tại 2 số cùng phía với 1, giả sử là x và y
⇒2z(x−1)(y−1)≥0⇔2xz+2yz≤2xyz+2z≤2xyz+z2+1
mà 2xy≤x2+y2
Suy ra bổ đề đc CM
Dễ thấy |ab|+|bc|+|ca|≥ab+bc+caTa CM (a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(|ab|+|bc|+|ca|)
Đặt |a|=x;|b|=y;|c|=z(x;y;z≥0)
BĐT⇔(x2+2)(y2+2)(z2+2)≥9(xy+yz+zx)
⇔x2y2z2+2(x2y2+y2z2+z2x2)+4(x2+y2+z2)+8≥9(xy+yz+zx)
Có 2(x2y2+1+y2z2+1+z2x2+1)≥4(xy+yz+zx)
3(x2+y2+z2)≥3(xy+yz+zx)
x2y2z2+2+x2+y2+z2≥2xyz+1+x2+y2+z2≥2(xy+yz+zx)
Vậy ta có đpcm