Ta có $P=f(c)= c\left(\frac{1}{b+1}-\frac{1}{a+1} \right)+\frac{a-b}{4-a-b}+\frac{b}{a+1}-\frac{a}{b+1}$Do $f(c)$ là hàm bậc nhất và liên tục trên $[0;3]$ nên ta luôn có $f(c) \ge \min \{ f(0),f(3)\}$
Dễ thấy $f(3)=0$
$f(0)=\frac{a-b}{4-a-b}+\frac{b}{a+1}-\frac{a}{b+1}$
Vì $a+b=3$ (do $c=0$) nên ta viết lại
$f(0)=a-b+\frac{b}{a+1}-\frac{a}{b+1}=h(b)= 3-2b+\frac{b}{4-b}-\frac{3-b}{b+1}$
Khảo sát hàm $h(b)$ trên $[0;3]$ ta thu được $h(b) \ge h(\sqrt 6)= \frac 35(9-4\sqrt 6)$
Do đó $P \ge f(c) \ge f(0) \ge \frac 35(9-4\sqrt 6)$
Mặt khác khi thay $c=0,b=\sqrt 6,a=3-\sqrt 6$ thì $P=\frac 35(9-4\sqrt 6)$
Vậy $\min P=\frac 35(9-4\sqrt 6)$