DH 2

Question

Cho

$a,b,c\ge 0$ thỏa mãn:

$ab+bc+ca=1$ . Chứng minh rằng:

$\frac{2a}{a^2+1}+\frac{2b}{b^2+1}+\frac{c^2-1}{c^2+1}\le \frac{3}{2}$

tran85295 · Answer 1 · 8/10/2016 12:30:06 PM

$bdt\Leftrightarrow \frac{2a}{a^2+1}+\frac{2b}{b^2+1}=\frac 12+\frac{2}{c^2+1}$

Đổi biến

$(a,b,c) \longrightarrow \left( \tan \frac{A}2 ,\tan \frac B2, \tan \frac C2\right) \; \; (A+B+C = \pi)$

$bdt\Leftrightarrow 2\cos^2 \frac A2.\tan \frac A2+2\cos^2 \frac B2.\tan \frac B2 \le \frac 12+2\cos^2\frac C2$

$\Leftrightarrow \sin A+\sin B \le 2 \cos^2 \frac C2+\frac 12$

BDT cuối đúng do

$\sin A+\sin B=2.\sin \frac{A-B}2.\cos \frac{A+B}{2} \le 2.1.\cos\frac{ (\pi-A-B)}{2}=2\cos \frac C2 \le VP$

Đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow A=B= \frac{\pi}6,C=\frac{2\pi}{3}$

hay

$a=b=2-\sqrt 3,c=\sqrt 3$

Trả lời 10-08-16 12:30 PM

tran85295
135 9

10M 559K

hay lắm bạn ơi – tritanngo99 11-08-16 05:32 AM

1 Đáp án