BĐT nè mn !

Question

Cho

$a,b,c$ là các số thực dương không nhỏ hơn 1.Tìm

$Min$

P =

$\frac{1}{1+a^{6}}+\frac{2}{1+b^{3}}+ \frac{3}{1+c^{2}} +6\sqrt{1+abc(abc-1)}$

score 6 · Answer 1

Với

$x,y,z \ge 1$ ta có các bdt sau

$\frac 1{1+x^2}+\frac 1{1+y^2} \ge \frac{2}{1+xy}, \\ \frac1{1+x^3}+\frac 1{1+y^3}+\frac 1{1+z^3} \ge \frac{3}{1+xyz}$

(đây là các kết quả có sẵn và rất quen thuộc, bạn đọc tự chứng minh )

Áp dụng liên tiếp ta có

$\left(\frac{1}{1+a^6}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+b^3} \right)+\frac{3}{1+c^2} \ge \frac{3}{1+a^2b^2}+\frac{3}{1+c^2} \ge \frac{6}{1+abc}$

Đặt

$t=abc \ge 1$

Thế thì

$\frac{P}6 \ge \frac{1}{t+1}+\sqrt{t^2-t+1} \ge \frac{1}{t+1}+\sqrt t \ge \frac{1}{t+1}+\sqrt{\frac{t+1}{8}}+\sqrt{\frac{t+1}{8}} \ge \frac 32$

Dễ dàng kiểm tra

$P_{min}=9\Leftrightarrow a=b=c=1$

P/s:Theo lối mòn tư duy thì từ bước đặt ẩn trở đi có thể giải bằng phương pháp hàm số :)

1 Đáp án