Với $x,y,z \ge 1$ ta có các bdt sau $\frac 1{1+x^2}+\frac 1{1+y^2} \ge \frac{2}{1+xy}, \\ \frac1{1+x^3}+\frac 1{1+y^3}+\frac 1{1+z^3} \ge \frac{3}{1+xyz}$
(đây là các kết quả có sẵn và rất quen thuộc, bạn đọc tự chứng minh )
Áp dụng liên tiếp ta có $\left(\frac{1}{1+a^6}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+b^3} \right)+\frac{3}{1+c^2} \ge \frac{3}{1+a^2b^2}+\frac{3}{1+c^2} \ge \frac{6}{1+abc}$
Đặt $t=abc \ge 1$
Thế thì $\frac{P}6 \ge \frac{1}{t+1}+\sqrt{t^2-t+1} \ge \frac{1}{t+1}+\sqrt t \ge \frac{1}{t+1}+\sqrt{\frac{t+1}{8}}+\sqrt{\frac{t+1}{8}} \ge \frac 32$
Dễ dàng kiểm tra $P_{min}=9\Leftrightarrow a=b=c=1$
P/s:Theo lối mòn tư duy thì từ bước đặt ẩn trở đi có thể giải bằng phương pháp hàm số :)