BĐT đúng với $a,b,c>0$ nhá:D
Đặt $x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}$$\Rightarrow xyz=1$
$\Rightarrow VT=\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}+\frac{1}{(1+z)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^{2}}$
$\Rightarrow VT\geq\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^{2}}=f(z)$
Ta phải CM:$f(z)\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow (z-1)^{2}\geq 0$(luôn đúng)
$\Rightarrow đpcm$
Dấu''='' xra$\Leftrightarrow a=b=c$
P/s:Có thể áp dụng BĐT này vào bài toán sau:
Cho $a,b,c$ là các số thực dương.CMR:
$\sqrt[3]{(\frac{2a}{a+b})^{7}}+\sqrt[3]{(\frac{2b}{b+c})^{7}}+\sqrt[3]{(\frac{2c}{c+a})^{7}}\geq3$