(10)- Câu hỏi cuối cùng của ngày hôm nay

Question

MOSP

$2003$ CMR với mọi số thực dương

$a,b,c$ , ta luôn có:

$\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq\frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$

score 2 · Answer 1

Đặt

$abc=k^3$ .Khi đó tồn tại các số nguyên dương x,y,z sao cho

$a=\frac{kx}{y};b=\frac{kz}{x};c=\frac{ky}{z}$ .Ta viết lại Bđt đã cho dưới dạng

$\frac{y}{x+kz}+\frac{x}{z+ky}+\frac{z}{y+kx}\ge \frac{3}{1+k}$

Áp dụng Bđt Cauchy-Schwarz ta có:

$VT\ge \frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(1+k\right)\left(xy+yz+xz\right)}\ge \frac{3}{1+k}=VP$

P/s:ngoài ra có thể dùng Holder nếu bn cần thì nhắn cho mình

anh học sinh lớp mấy vậy ạ ? – Hàn Thiên Dii 12-11-16 07:54 AM

Confusion · Answer 2 · 8/24/2016 6:05:50 PM

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/137435/bat-dang-thuc/39363#39363

Trả lời 24-08-16 06:05 PM

Confusion
241 5

164K 882K

Bloody's Rose · Answer 3 · 8/24/2016 6:04:28 PM

Ta có:

$(1+abc)(\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)})+3=\Sigma \frac{1+abc+a+ab}{a(1+b)}=\Sigma\frac{1+a}{a(1+b)}+\Sigma \frac{b(c+1)}{1+b}$

Sử dụng 2 lần BĐT AM-GM ta được:

$\Sigma\frac{1+a}{a(1+b)}+\Sigma\frac{b(c+1)}{1+b}\geq\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+3\sqrt[3]{abc}$

Ta phải CM:

$\frac{\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+3\sqrt[3]{abc}-3}{1+abc}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$ (1)

Quy đồng ra điều luôn đúng do(1) là 1 đống nhất thức:D

Trả lời 24-08-16 06:04 PM

Bloody's Rose
430 6

142K 705K

sao k cưng – Lionel Messi 13-11-16 04:40 AM

giỏi thế – Lionel Messi 24-08-16 08:07 PM

3 Đáp án