Xét $n$ là số tự nhiên và $n \geq 3$.
Từ công thức khai triển nhị thức Newton suy ra: $(1+x)^n=C^{0}_{n}+C^{1}_{n}x+C^{2}_{n}x^2+...+C^{n}_{n}x^n, \forall x\in R.$.
Lấy đạo hàm theo biến $x$ cả hai vế thì được:
$n(1+x)^{n-1}=C^{1}_{n}+2C^{2}_{n}x+3C^{3}_{n}x^2...+nC^{n}_{n}x^{n-1}, \forall x\in R$.
Cho $x=1$ thì được:
$n2^{n-1}=C^{1}_{n}+2C^{2}_{n}1+3C^{3}_{n}...+nC^{n}_{n}$.
Suy ra:
$\frac{C^{1}_{n}+2C^{2}_{n}1+3C^{3}_{n}...+nC^{n}_{n}}{n}=2^{n-1}$ (1).
Mời bạn đọc tự chứng minh điều sau (bằng quy nạp):
$2^{n-1}<n!$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra:
$\frac{C^{1}_{n}+2C^{2}_{n}1+3C^{3}_{n}...+nC^{n}_{n}}{n}<n!$