Điều kiện của hệ là x>0 và y>0.
Đặt u=x2 và v=y3 với u,v>0. Hệ cần giải trở thành
{u+v=alog3u.log2v=6.
Nhân hai vế của phương trình cuối với ln3.ln2 và dùng công thức đổi cơ số thì được hệ
{u+v=alnu.lnv=6ln3.ln2.
Sau bước thực hiện phép thế thì được
lnu.ln(a−u)−6ln3.ln2=0 (∗).
Nhận thấy rằng số nghiệm của hệ ban đầu chính là số nghiệm của (∗). Vì a≥17 nên (∗) không có
nghiệm trên (0;1) và (a−1;a). Do đó, chỉ cần giải (∗) trên [1;a−1].
Xét hàm số f(u)=lnu.ln(a−u)−6ln3.ln2,∀u∈[1;a−1]. Khi đó có kết quả
f′(u)=(a−u)ln(a−u)−ulnuu(a−u),∀u∈(1;a−1).
Suy ra f′(u)=0 khi và chỉ khi (a−u)ln(a−u)=ulnu (∗∗) với u∈(1;a−1).
Xét hàm số g(t)=t.lnt,∀t∈(1;a−1). Khi đó có kết quả
g′(t)=lnt+1>0,∀t∈(1;a−1).
Suy ra g đồng biến trên (1;a−1). Từ kết quả này cho thấy (∗∗) tương đương với a−u=u, hay
u=a2 và nghiệm này thuộc (1;a−1). Suy ra f có nhiều nhất một cực trị trên [1;a−1]. Suy ra
(∗) có nhiều nhất hai nghiệm trên [1;a−1].
Mặt khác, khi kiểm tra thì thấy f(1).f(a2)<0 và f(a2).f(a−1)<0; vì f liên tục trên [1;a−1]
nên f(u)=0 có ít nhất hai nghiệm trên [1;a−1].
Thành thử, f(u)=0 có đúng hai nghiệm, hay (∗) có đúng hai nghiệm. Suy ra hệ ban
đầu có đúng hai nghiệm. Δ