Một tài liệu thú vị!!!!!!!!!!!

Cách nhìn khác về các con số

Hiện nay có rất nhiều cách để viết một con số . Chúng ta có thể sử dụng các hệ cơ số khác nhau , phân số , số thập phân , logarit , lũy thừa hoặc chỉ miêu tả bằng lời nói . Mỗi cách sẽ thuận tiện cho từng trường hợp và phục vụ cho một mục đích của mỗi người , thông thường họ sẽ quen với cách mà họ được học ở trường . Nhưng đáng ngạc nhiên , một cách viết số nổi bật và mạnh mẽ nhất lại hầu như không được dạy ở các trường học và hiếm khi xuất hiện ở cả đại học trừ khi bạn theo chuyên ngành Lý thuyết số . Tuy nhiên , liên phân số là một cách viết rõ ràng nhất cho một số . Số thập phân và phần thập phân khi kéo dài ra thật không đáng kể và không thể tiết lộ tính đối xứng phi thường cũng như mô hình ẩn sau bên trong các con số như là liên phân số . Liên phân số khiến ta có thể xấp xỉ hợp lý các số vô tỷ và khám phá ra những con số thú vị .

Mỗi số đều có một dạng biểu diễn liên phân số , chúng ta cứ kéo dài các con số và ta thấy mình sẽ phải đối mặt với một quá trình hỗn loạn , đơn giản mà vẫn sở hữu sự thống kê đáng ngạc nhiên . Chương trình thao tác toán học hiện đại Mathematica đã tiếp tục mở rộng , là một công cụ đơn giản để khám phá những tính chất đặc biệt , bí mật của những con số .

Cách tốt nhất để khám phá những con số

Giới thiệu về liên phân số

Xét phương trình bậc hai :

$$\begin{array}{}{x}^2-bx-1=0& \text{(1)}\end{array}$$

Nó có thể viết dưới dạng

$$\begin{array}{}x=b+\frac{1}{x}& \text{(2)}\end{array}$$

Chúng ta tiếp tục quá trình trên

$$\begin{array}{}x=b+\frac{1}{b+\frac{1}{x}}& \text{(3)}\end{array}$$

Chúng ta có thể lặp lại vô hạn bước trên

$$\begin{array}{}x=b+\frac{1}{b+\frac{1}{b+\frac{1}{b+\frac{1}{...}}}}& \text{(4)}\end{array}$$

Bây giờ quay lại với cách giải phương trình bậc hai thông thường ta sẽ thấy một cách mở rộng liên phân số cho nghiệm của phương trình $\left(1\right)$

$$\begin{array}{}x=\frac{b+\sqrt{b^2+4}}{2}& \text{(5)}\end{array}$$

Chọn $b=1$ chúng ta có biểu diễn liên phân số của tỷ lệ vàng $\varphi$

$$\begin{array}{}\varphi =\frac{\sqrt{5}+1}{2}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}& \text{(6)}\end{array}$$

Cách viết này tạo cảm hứng cho chúng ta xét các số dạng

$$\begin{array}{}{a}_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_3+...+\frac{1}{a_n+...}}}& \text{(7)}\end{array}$$

Trong đó các số $a_i$ là các số nguyên dương , gọi một mở rộng liên phân số kí hiệu là cfe và để bớt cồng kênh ta kí hiệu $\left(7\right)$ như sau :

$$\begin{array}{}[a_0,a_1,...a_n,...]& \text{(8)}\end{array}$$

Liên phân số lần đầu tiên xuất hiện trong tác phẩm của nhà toán học Ấn Độ Aryabhata trong thế kỉ thứ $6$ . Ông đã sử dụng nó để giải các phương trình tuyến tính . Sau đó chúng xuất hiện ở thế kỉ $15$ và $16$ , Fibonacci đã cố gắng để xác định chúng một cách tổng quát . Thuật ngữ " liên phân số " lần đầu tiên xuất hiện trong năm $1653$ trong một ấn bản của cuốn sách Arithmetica infinitorum bởi nhà toán học ở Oxford , John Wallis . Công trình của họ cũng đã được nghiên cứu nhiều bởi William Brouncker , người cùng với Wallis là các thành viên sáng lập Hội hoàng gia . Vào thời gian đó , các nhà vật lý nổi tiếng toán học ở Hà Lan , Christiaan Huygens đã ứng dụng liên phân số trong việc xây dựng các công cụ khoa học . Sau đó trong các thế kỉ $18$ và đầu $19$ , Gauss và Euler đã khám phá ra sự sâu sắc của nó .

Liên phân số dài như thế nào ?

Liên phân số có thể hữu hạn hoặc vô hạn , ví dụ nếu liên phân số hữu hạn thì số cuối cùng trong biểu diễn $\left(8\right)$không thể là $1$ , ví dụ nên viết $\frac{1}{2}$ là $[0,2]$ chứ không viết $[0,1,1]$ . Và như vậy thì cách biểu diễn này là duy nhất .

Các cfes infinite đại diện cho các số vô tỷ . Nếu chúng ta chọn các số $b$ khác nhau , ví dụ như $4,5$ thì chúng ta vẫn cho ra những liên phân số vô hạn là nghiệm của phương trình bậc hai . Trên thực tế tất cả các nghiệm của phương trình bậc hai hệ số nguyên thì đều là một liên phân số tuần hoàn . Ví dụ như $[2,2,2,2,3,2,3,2,...]$ hoặc $[2,1,1,4,1,1,4,1,\mathrm{1...}]$ .Dưới đây là một vài cfe [ viết tắt của continued fractional expansion ] vô hạn mà ta hay gặp :

$$\begin{array}{}e=[2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,....]& \text{(9)}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\sqrt{2}=[1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,...]& \text{(10)}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\sqrt{3}=[1,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,...]& \text{(11)}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\pi =[3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,...]& \text{(12)}\end{array}$$

Những ví dụ này cho thấy một số khả năng , hầu hết các mở rộng đều đơn giản ngoại trừ số $\pi$ . Nó lần đầu tiên được tính toán bởi Roger Cotes , giáo sư triết học tại Cambridge năm $1714$ . Nếu chúng ta biết cách viết thập phân của tỷ số vàng hoặc thậm chí trong hệ nhị phân , nó rất khó để chúng ta thấy sự đặc biệt , chỉ khi viết dưới dạng liên phân số thì cấu trúc độc đáo của nó mới xuất hiện .

Một số ứng dụng hữu ích

Tính xấp xỉ $\pi$

Nếu chúng ta cắt từ một cfe vô hạn tại một đoạn nào đó thì nó luôn cho ta một xấp xỉ cần thiết so với số ban đầu . Ví dụ trong trường hợp $\pi$ nếu chúng ta cắt ra đoạn $[3,7]$ chúng ta sẽ nhận được xấp xỉ hợp lý quen thuộc của $\pi$ là $\frac{22}{7}=3,\mathrm{1428571....}$ . Nếu chúng ta cắt ra đoạn $[3,7,15,1]=\frac{355}{113}=3,\mathrm{1415929...}$ . Một xấp xỉ tốt hơn là $3,14159265$ lần đầu tiên được biết đến bởi người Trung Quốc . Tám xấp xỉ tốt đầu tiên là

$$\frac{3}{1},\frac{22}{7},\frac{333}{106},\frac{355}{113},\frac{103993}{33102},\frac{104348}{33215},\frac{208341}{66317},\frac{312689}{99532}$$

Trên thực tế các cfe cho chúng ta các xấp xỉ đúng với mức độ tùy ý và đến mục lúc nào đó phần sau của các cfe gồm toàn các con số nhỏ cho dù ban đầu chúng lớn như thế nào ( càng về sau càng dễ xuất hiện các số $1,2$ ) . Do sự xuất hiện bất thường của số $292$ quá sớm trong số $\pi$ nên nó dẫn đến một xấp xỉ khá tốt là $\pi =[3,7,15,1,292]=\frac{103993}{33102}$

Thang âm nhạc của Pitago

Các trường phái Pitago cổ điển cho rằng việc phân chia các nhạc cụ bằng một chuỗi các số nguyên nhỏ dẫn đến một mối quan hệ hấp dẫn . Ví dụ một nửa chiều dài thì là $2:1$ , quãng tám âm và đoạn thứ ba là $3:2$ ... Nhạc lần $4$ là $5:4$ ( đoạn này khá khó dịch ). Vậy bây giờ câu hỏi là khi nào thì quy mô của Pitago phù hợp với nhau , có nghĩa là khi nào :

$$\begin{array}{}(\frac{5}{4}{)}^b=2^a?& \text{(13)}\end{array}$$

Lấy logarit cơ số $2$ thì nó sẽ tương đương với việc $lo{g}_{2}5=2+\frac{a}{b}$ . Do nó là logarit nên sẽ vô tỷ và không thể đưa ra tỷ lệ chính xác cho $a,b$ . Nhưng để đưa ra tỷ lệ gần đúng thì chúng ta tính cfe của $lo{g}_{2}5=[2,3,9,...]$ . Và ta có thể lấy xấp xỉ $lo{g}_{2}5=2+\frac{1}{3}$ , ví dụ $a=1,b=3$ . Khi đó

$$\begin{array}{}(\frac{5}{4}{)}^3=1,\mathrm{95...}\sim 2& \text{(14)}\end{array}$$

Nếu chúng ta tiếp tục xấp xỉ tốt hơn thì có thể lấy các số $a=9,b=28$ nhưng càng về sau sẽ càng khó khăn trong việc tính toán .

Một trong những thủ thuật mà Ramanujan tiết lộ

Thiên tài toán học người Ấn Độ Srinivasa Ramanujan ( $1887-1920$ ) nổi tiếng với khả năng trực giác kì lạ của ông về những con số và mối liên hệ của chúng . Giống như những nhà toán học trong nhiều thế kỉ qua , ông đặc biệt thích các xấp xỉ cực kì chính xác ( bạn có thể thấy rằng $2^{10}\sim {10}^3$ ) . Ramanujan đặc biệt thích các cfes và đã tích lũy được một kiến thức sâu rộng về chúng . Điều này được biết đến vì nhiều xấp xỉ rất bât thường được ông đưa ra . Ông biết rằng một số vô tỷ viết dưới dạng cfe mà lấy một đoạn đủ lớn thì luôn cho một xấp xỉ cực kì chính xác . Một ví dụ được Ramanujan đưa ra :

$$\begin{array}{}{\pi }^4\sim (\frac{2143}{22}{)}^{\frac{1}{4}}& \text{(15)}\end{array}$$

Làm sao ông ấy biết được điều này ? Nếu ta có một chút kiến thức về liên phân số chúng ta có thể đoán ra một cái gì đó thú vị trong cfe của ${\pi }^4$ , thật vậy , mở rộng liên phân số của ${\pi }^4$ là khá lớn :

$$\begin{array}{}{\pi }^4=[97,2,2,3,1,16539,1,...]& \text{(16)}\end{array}$$

Bằng cách ngắt từ đoạn $16539$ bạn sẽ thu được xấp xỉ của Ramanujan cho ${\pi }^4$ . Ramanujan cũng quan tâm đến việc mở rộng căn thức lồng nhau vô hạn . Năm $1911$ một câu hỏi được người ta hỏi trên tạp chí toán học Ấn Độ giá trị của biểu thức sau là gì :

$$\begin{array}{}?=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+....}}}& \text{(17)}\end{array}$$

Một vài tháng trôi qua không có ai trả lời và Ramanujan tiết lộ câu trả lời là $3$ và còn đưa ra một công thức tổng quát :

$$\begin{array}{}x+1=\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+....}}}& \text{(18)}\end{array}$$

Các nhà toán học ứng dụng đã tìm cách xấp xỉ các hàm số liên tục bởi cfe , gọi là xấp xỉ Pade . Nhưng họ thường nhận được các xấp xỉ kém chính xác hơn việc sử dụng chuỗi Taylor . Bằng cách cắt một đoạn hữu hạn và họ thu được xấp xỉ là thương của hai đa thức .

Các xấp xỉ hợp lý - làm thế nào để có được ?

Liên phân số tiếp tục hướng chúng ta đến việc thăm dò một trật tự khác ẩn sau các con số . Như việc bạn viết tỷ số vàng dưới các hệ sơ số khác nhau chưa thể diễn tả chính xác tại sao nó gọi là tỷ số vàng . Chỉ khi viết dưới dạng liên phân số thì sự đẹp đẽ mới xuất hiện .

Phân số hữu tỷ thu được bằng cách ngắt đoạn thứ $n$ của một cfe gọi là một hội tụ thứ $n$ của cfe . Và thường kí hiệu là $\frac{p_n}{q_n}$ . Như vậy khi $n$ tăng ta có :

$$\begin{array}{}|x-\frac{p_n}{q_n}|\to 0& \text{(19)}\end{array}$$

Nhưng ta cũng thấy rằng chính con số $\varphi -1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ là con số bất thường nhất vì mở rộng liên phân số của nó gồm toàn số $1$ và vì vậy nó hội tụ yếu nhất . Trên thực tế Lagrange đã chứng minh với mọi số vô tỷ $x$ có vô hạn các đại lượng xấp xỉ hữu tỷ hợp lý :

$$\begin{array}{}|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^2\sqrt{5}}& \text{(20)}\end{array}$$

Nhưng mà nó sẽ sai nếu thay $5$ bởi một số lớn hơn . Trong trường hợp xấp xỉ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ lấy từ cfe , $\frac{p_n}{q_n}=\frac{0}{1},\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{5},\frac{5}{8},..$ có tỷ lệ hội tụ yếu nhất đối với phương trình $\left(21\right)$

$$\begin{array}{}|x-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q^2\sqrt{5}}& \text{(21)}\end{array}$$

Với $k\ge 2$ bất kì mẫu số $q_n$ có thể tính so sánh bằng bất đẳng thức sau :

$$\begin{array}{}{q}_k\ge 2^{\frac{k-1}{2}}& \text{(22)}\end{array}$$

Nếu cfe hữu hạn thì $k$ chạy đến cuối cùng . Trên thực tế có thể đánh giá xấp xỉ bằng các mẫu số $q_n$ từ cả hai phía

$$\begin{array}{}\frac{1}{q_k(q_{k+1}+q_k)}<|x-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{1}{q_k{q}_{k+1}}& \text{(23)}\end{array}$$

Có rất nhiều tính chất thú vị của các cfe nhưng hầu như không có một tính chất mạnh hoặc chung nào vì nó còn tùy thuộc vào cách mà bạn mở rộng các số . Lấy một hữu hạn hay vô hạn các số nguyên mà bạn muốn thì no chỉ tạo ra một số mở rộng duy nhất , bạn có thể đặt tên cho nó . Ngược lại với một số cho trước có thể có rất nhiều cfe đại diện cho nó . Để tìm kiếm điều đặc biệt đôi khi là vô vọng . Tuy nhiên trong khi điều này đúng , nếu ta hạn chế tìm kiếm tính chất các cfe của hầu hết các số thực - chúng ta bỏ qua một lớp các số " đặc biệt " mà có một xác xuất không bị chọn ngẫu nhiên bởi các cfe - các tính chất cơ bản đáng chú ý của chúng được biết bởi các cfe của chúng .

Khuôn mẫu đằng sau hầu hết các con số

Phân số xác xuất của Gauss

Các tính chất chung của các cfe lần đầu tiên được phát hiện năm $1812$ bởi nhà toán học vĩ đại người Đức Carl Fiedrich Gauss ($1777-1855$) , ông đã không công bố các phát hiện của mình . Thay vào đó , ông chỉ viết thư cho Pierre Laplace ở Paris những gì ông tìm thấy , cho những tính chất của cfe , xác xuất $P\left(\right[0,a_1,a_2,....]<x)$ tiến đến $lo{g}_2(1+x)$ khi $n\to \infty$ . Năm $1928$ , tính chất của Gauss xuất hiện lại và được tổng quát bởi nhà toán học người Nga R.O. Kuzmin và ( theo một cách khác ) cũng là một năm sau đó bởi nhà toán học người Pháp Paul Levy ( $1886-1971$ ) .

Nếu ta xem xét các cfe vô hạn của các số thực khi mà $n$ đủ lớn xác xuất để các $a_n$ bằng số nguyên $k$ nào đó tiến tới

$$\begin{array}{}P\left(k\right)=\frac{ln(1+\frac{1}{k(k+2)}}{ln2}& \text{(24)}\end{array}$$

Điều này là một tính chất quan trọng . Trước tiên , nó là một xác xuất phân phối ,nêu chúng ta lấy tổng trên tất cả các giá trị nguyên của $k$ từ $1\to \infty$ thì thu được $1$ . Và cho thấy khi cho $k$ rất lớn thì xác xuất rất nhỏ để xuất hiện $k$( gần như bằng $0$ ) . Các đánh giá cho thấy $P\left(1\right)$ và $P\left(2\right)$ chiếm khoảng $41$% và $17$%. Nhìn lại vào $\left(9\right)$ bạn sẽ thấy số $e$ đặc biệt trong hầu hết các số , không bị chi phối bởi xác xuất này . Nhưng có vẻ $\pi$ lại không như vậy , nhìn lại xấp xỉ của $\pi$ tạo bởi phương trình $\left(17\right)$ chúng ta thấy xác xuất một số lớn như $16539$ chỉ chiếm $5$ trong ${10}^9$ .

Nếu ta lấy $k$ đủ lớn và xấp xỉ bằng định lý nhị thức ($k(k+2)\sim k^2$) thì khi đó $P\left(k\right)\sim k^{-2},k\to \infty$ . Điều này cho thấy nếu ta cố gắng tìm trung bình ( hoặc trùng bình cộng ) các giá trị $k$ trong cfe chúng ta sẽ có câu vô hạn câu trả lời . Câu trả lời là tổng vô hạn $\sum kP\left(k\right)$ chính bằng chuỗi điều hòa , và ta đã biết chuỗi này phân kì .

Hằng số Levy

Paul Levy cho chúng ta thấy việc mở rộng liên phân số , một điều gì đó đáng ngạc nhiên và tổng quát về một sự hội tụ đủ mạnh . Chúng ta thấy trong các phương trình $\left(21\right)-\left(24\right)$ các xấp xỉ mạnh với các số thực được cải thiện liên tục theo mẫu số $q_n^{-2}$ khi $n$ tăng . Nó nói rằng , số $q_n$ không thể phát triển theo các số nhân khi $n$ tăng ( tức $q_n<e^{An}$khi $n\to \infty$ với $A$ là hằng số nào đó hợp lý ) . Levy đã tính được , phân lập tốc độ tăng trưởng bằng một hằng số cơ bản cho các mẫu số $q_n$

$$\begin{array}{}{q}_n^{\frac{1}{n}}\to L,n\to \infty & \text{(25)}\end{array}$$

Trong đó hằng số Levy được tính theo công thức :

$$\begin{array}{}L=exp\left(\frac{{\pi }^2}{12ln2}\right)=3,\mathrm{27538229187...}& \text{(26)}\end{array}$$

Hằng số Khinchin

Sau đó , nhà toán học Nga Aleksandr Khinchin ( $1894-1959$ ) chứng minh kết quả nổi bật thứ ba về các cfe . Mặc dù số học , hoặc trung bình cộng của số $k_i$ không có một giá trị hữu hạn,  như hình học có . Thật vậy , nó có một giá trị hữu hạn mà là tổng quát cho hầu hết các cfe của số thưc . Ông thấy rằng khi $n\to \infty$

$$\begin{array}{}(k_1{k}_2....k_n{)}^{\frac{1}{n}}\to k& \text{(27)}\end{array}$$

Trong đó hằng số Khinchin được cho bởi một công thức hội tụ chậm

$$\begin{array}{}k=\prod _{i=1}^{\infty }(1+\frac{1}{k(k+1)}{)}^{\frac{lnk}{ln2}}=2,\mathrm{68545....}& \text{(28)}\end{array}$$

Như vậy giá trị trung bình về hình học là $2,68$ . Phản ánh sự chi phối của các giá trị nhỏ mà ta thấy trong các phân phối xác suất . Một lần nữa , thật thú vị  để xem xét cách tiếp cận xấp xỉ cho $\pi$

Nếu chúng tôi liệt kê sự xuất hiện các giá trị khác nhau $k=1,2,3,...$ trong số $100$ số đầu tiên trong cfe của $\pi$ , thì các giá trị $k$ và tần số của nó $N\left(k\right)$ trong thứ tự , sẽ giảm , cụ thể như sau : 

Chúng ta thấy nó sẽ hội tụ khá tốt với $P\left(k\right)$ khi $k$ nhỏ , nếu ta tính giá trị trung bình chúng ta sẽ thấy sự hội tụ tốt của Khinchin ,

$$\begin{array}{}(k_1{k}_2....k_{100}{)}^{\frac{1}{100}}=2,6831468& \text{(29)}\end{array}$$

Một ngoại lệ đáng chú ý

Hằng số đáng quan trọng nhất không là thành viên của " hầu hết các số " mà giá trị trung bình tiến tới hằng số Khinchin là $e=2,\mathrm{71828....}$ . Từ phương trình $\left(9\right)$ , rất dễ để kiếm tra những gì xảy ra với giá trị trung bình hình học của $e$ khi $n\to \infty$  , chúng ta đưa ra một xấp xỉ tốt cho nó , như Stirling , khi $n\to \infty$

$$\begin{array}{}\left(k_1\right(e\left)k_2\right(e)...k_n(e){)}^{\frac{1}{n}}\to (\frac{2n}{3e}{)}^{\frac{1}{3}}=0,62595n^{\frac{1}{3}}& \text{(30)}\end{array}$$

Những số hỗn độn

Các số là quá trình hỗn độn

Các phương pháp tạo ra các số vô hạn từ cfe là một quá trình hỗn loạn . Với một số thực tế , mong muốn mở rộng của ta là $u_1$ và ta tách nó làm phần nguyên ( kí hiệu $k_1$) và phần lẻ của nó ( kí hiệu là $x$ ) , vậy ta có

$$\begin{array}{}{u}_1=x+k_1& \text{(31)}\end{array}$$

Đôi khi ta viết $k=\left[u\right]$ để chỉ phần nguyên ; ví dụ $\left[\pi \right]=3,\left[e\right]=2$ . Bây giờ ta bắt đầu với số $\pi$ thì số đầu tiên $k_1=\left[\pi \right]=3$ và phẩn lẻ $x=0,141592$ . Các phần nguyên tiếp theo là $k_2=\left[\frac{1}{x}\right]=\left[\frac{1}{0,\mathrm{141592...}}\right]=[7,\mathrm{0625459...}]=7$ . Và tiếp tục $x_2=0,\mathrm{0625459...}$ và như vậy $k_3=15$ . Phương pháp đơn giản này mang lại những thương số đầu tiên trong cfe của $\pi$ mà ta liệt kê ở phương trình $\left(12\right)$ . Phần lẻ luôn nằm giữa $0$ và $1$ . Nó không thể bằng $0$ hoặc $1$ vì khi đó nó sẽ phải là một số hữu tỷ và quá trình mở rộng số sẽ là hữu hạn . Các quá trình tạo ra các phân đoạn liên tiếp được cho bởi phương trình phi tuyến :

$$\begin{array}{}{x}_{n+1}=T\left(x_n\right)=\frac{1}{x_n}-\left[\frac{1}{x_n}\right]& \text{(32)}\end{array}$$

Trong đó $T\left(x\right)$ đại diện như một số lượng vô hạn của nhánh Hyperbolic .

Nếu ta áp dụng đồ thị này và bắt đầu từ hầu hết các giá trị khởi đầu cho bởi các số thực với các cfe vô hạn thì giá trị đầu ra của $x$ sẽ tiến tới một phân phối xác xuất đặc biệt , lần đầu tiên được tìm ra bởi Gauss :

$$\begin{array}{}p\left(x\right)=\frac{1}{(x+1)ln2}& \text{(33)}\end{array}$$

Một lần nữa với phân số này ta có thể kiểm tra

$${\int }_0^{1}p\left(x\right)dx=1$$

Hỗn độn  là gì ? 

Trong đồ thị của $T$ là hỗn độn khuyếch đại sự khác biệt nhỏ trong giá trị của $x$ khi ánh xạ tiếp tục áp dụng . Điều này cần thiết cho tầm quan trọng của đạo hàm của nó $|\frac{dT}{dx}|$ ở các điểm có tọa độ lớn hơn $1$ . Ta thấy $\frac{dT}{dx}=\frac{-1}{x^2}$ và$0<x<1$ thì hiển nhiên . Sự khuyếch đại này rõ ràng phụ thuộc vào $x$ - càng gần $x=0$ thì đạo hàm càng lớn . Một sự thay đổi nhỏ $\delta x$ tạo ra một sự khếch đại của $|\frac{dT}{dx}|$ theo như sơ đồ của $T$ , một sự tăng trưởng nhanh chóng theo cấp số nhân $expϵ\delta x$ .

Chúng ta sẽ lấy giá trị trung bình $ϵ=|\frac{dT}{dx}|$ , số mũ nhạy cảm , trung bình đối với các phân bố xác suất , phương trình $\left(34\right)$ , điều chỉnh đầu ra của $x$ trong đồ thị của $T$ , độ nhạy cảm  , kí hiệu là $h$ đôi khi gọi là Kolmogorov hoặc số liệu , dữ liệu ngẫu nhiên của đồ thị , được cho bởi

$$\begin{array}{}h={\int }_0^{1}ln|\frac{dT}{dx}|p\left(x\right)dx& \text{(34)}\end{array}$$

Đối với đồ thị của $T$ thì nó là :

$$\begin{array}{}h={\int }_0^1\frac{-2ln\left(x\right)}{(1+x)ln2}dx=\frac{{\pi }^2}{6ln2}& \text{(35)}\end{array}$$

Nếu $h$ khác $0$ thì một đồ thị được gọi là hỗn độn , sự thay đổi nhỏ trong dữ liệu ban đầu sẽ được khuếch đại bởi ánh xạ . Trong trường hợp của cfe chúng ta thấy rằng điều này có nghĩa là cfes của hai số thực rất gần nhau cuối cùng sẽ tách ra theo cấp số nhân với $n$ , và các số phương cắt từ cfe được tạo ra .

Các cfe của một số thực có thể tổng quát một cách tự nhiên bởi $F$ gọi là $F-$ mở rộng của một số thực $x$ ( $0<x<1$ ) bằng cách viết

$$\begin{array}{}x=F(a_1+F(a_2+F(a_3+....)\left)\right)& \text{(36)}\end{array}$$

Ở đây $F$ là một hàm số đơn điệu tăng hoặc giảm . Các $a_i\left(x\right)$ là các chữ số không âm xác định thương số của $F-$mở rộng . Các cfe là trường hợp đặc biệt của $F\left(x\right)=x^{-1}$ .

Các liên phân số trong vũ trụ 

Liên phân số xuất hiện nhiều trong những nghiên cứu về sự hỗn độn . Nếu một vấn đề về động lực làm giảm sự chuyển động của một điểm nảy ra cách biên của một vùng không tròn , trong đó trò chơi billiards là một ví dụ điển hình , sau đó các cfe của một số cố định với điều kiện ban đầu sẽ mô tả nhiều khía cạnh động lực của một chuỗi các vụ va chạm xảy ra . Một ví dụ nổi bật của điều này được nghiên cứu trong thuyết tương đối tổng quát , mô tả chuyển động của vũ trụ của chúng ta hoặc điểm kì dị của các hố đen . Trong trường hợp này , một chuỗi vô hạn các dao động thủy triều xảy ra , các thống kê được mô tả chính xác bằng việc mở rộng liên phân số với điều kiện ban đầu . Mặc dù quỹ đạo riêng của một hạt rơi vào điểm kì dị của hố đen là hỗn độn không thể đoán trước được , nó có những quy luật thống kê xác định bởi thuộc tính chung của các cfe . Các hằng số Khinchin và Levy tạo ra để mô tả những chuyển động của vũ trụ và các hố đen trong vật lý học .

Liên phân số cũng rất nổi bật ưa chuộng trong các vấn đề hỗn loạn khác . Các số kết thúc bằng một chuỗi vô hạn các số $1$ từ một lúc nào đó , như tỷ số vàng , được gọi là các số cao quý . Tỷ số vàng là cao quý nhất vì nó gồm toàn số $1$ . Như ta đã đã nói trước đó , nó tạo ra sự xấp xỉ kém nhất bằng các số hữu tỷ . Do đó những con số này đặc trưng cho các tần số của chuyển động thấp dễ bị nhiễu loạn và bất ổn . Thông thường , một hệ thống có thể hoạt động theo hai cách , giống như một ngôi sao đang quay quanh thiên hà và lắc lư lên xuống qua mặt cắt của thiên hà , sẽ có hai tần số xác định định những dao động khác nhau . Nếu tần số là số hữu tỷ thì chuyển động sẽ có chu kì nhưng nếu là số vô tỷ thì sẽ không có chu kì , xem xét tất cả các khả năng tương thích với việc bảo tồn năng lượng và xung lượng góc . Nếu ta xáo trộn một hệ với một tần số hợp lý thì nó sẽ rất dễ rơi vào một tình huống hỗn độn với tần số không hợp lý . Trên thực tế , sự ổn định của hệ thống năng lượng mặt trời của chúng tôi trong thời gian dài phụ thuộc vào tỷ lệ tần số nhất định nằm rất gần với các số cao quý .

Liên phân số đã bị giáo dục lãng quên , như một phần bỏ rơi của toán học . Nhưng tính chất của nó là những hướng dẫn quan trọng để xấp xỉ và thăm dò sự hỗn độn phức tạp của các hệ động lực . Nó xuất hiện trong một số lớn các vấn đề của vật lý . Tôi hy vọng bài viết này sẽ đưa mọi người đến một sự bất ngờ .

" Trong mọi sự hỗn loạn của tự nhiên luôn tồn tại một trật tự nào đó "