Đặt $f(t)=t\sqrt{t(2-t)},\;t\in(0;1)$Ta có $P=x\sqrt{(1-y)(1+y)}+y\sqrt{(1-x)(1+x)}=f(x)+f(y)$
Dự đoán dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac 12$.
Ta sẽ tìm $a,b$ sao cho $f(t) \ge at+b \forall t \in (0;1)$
Muốn vậy thì đk cần là pt $f(t)-at-b=0$ có nghiệm kép là $t_0=\frac 12$
Để tìm $a,b$ có nhiều cách (Hệ số bất định, pt tiếp tuyến, đạo hàm,...). Ở đây ta tìm dc $a=\frac{2\sqrt 3}3,b=\frac{-\sqrt 3}{12}$
Nên ta hi vọng là $t\sqrt{t(2-t)}\ge \frac{2\sqrt 3}{3}t-\frac{\sqrt 3}{12}$
Xui xẻo là nó chỉ đúng khi $t \in\left(0;\frac{3+\sqrt 6}{6}\right]$. nên ta làm như sau
Lời giải
KMTTQ giả sử $x \ge y\Rightarrow x \ge \frac 12$
Nếu $x> \frac{3+\sqrt 6}{6}$ thì $y < \frac{3-\sqrt 6}6\Rightarrow P>x\sqrt{1-y^2}>\frac 9{10}$
Nếu $x\le \frac{3+\sqrt 6}{6}$ thì ta có $P=f(x)+f(y) \ge (ax+b)+(ay+b)=a+2b=\frac {\sqrt 3}{2}$
$"="\Leftrightarrow x=y=\frac 12$. Vậy gtnn là $\frac{\sqrt 3}2$