Thực hiện một số phép biến đổi hàm số đã cho và được $\int\limits\frac{x}{\sqrt{x^2-1}+x}dx=\int\limits\frac{x(x-\sqrt{x^2-1})}{(\sqrt{x^2-1}+x)(x-\sqrt{x^2-1})}dx$
$=\int\limits (x^2-x\sqrt{x^2-1})dx$
$=\frac{x^3}{3}-\int\limits (\sqrt{x^2-1})xdx$.
Đặt $t=\sqrt{x^2-1}$. Thế thì $x^2=t^2+1$; suy ra $d(x^2)=d(t^2+1)$, hay $xdx=tdt$. Từ đó suy ra
$\int\limits (\sqrt{x^2-1})xdx=\int\limits t.tdt$
$=\int\limits t^2dt$
$=\frac{t^3}{3}+C$
$=\frac{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}{3}+C$.
Thành thử
$\int\limits\frac{x}{\sqrt{x^2-1}+x}dx=\frac{x^3-(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}{3}-C$.