Tam giác MAH vuông tại M ( OM = 0A = OH = R )=> góc AMH = 90 độ
Tam giác NAH vuông tạiN ( ON = OA = OH = R )
=> góc ANH = 90 độ
mà góc MAN = 90 độ
=> AMHN là h.c.n
mà O là t.đ của AH
=> O là t.đ của MN
=> M,0,N thẳng hàng
....
góc HBA + góc ACB = 90 độ
góc HAC + góc ACB = 90 độ
=> dóc HBA = góc HAC
mà góc HAC = góc MNA ( AMNH là h.c.n )
=> góc HBA = góc MNA
=> góc HBA + góc MNC = góc MNA + góc MNC = 180 độ
=> BMNC nội tiếp
...
Gọi g.đ của AI và MN là K
tam giác ABC có AI là đ.t.tn
=> IA = IC
=> tam giác IAC cân tại I
=> góc ICA cân tại I
=> góc ICA = góc IAC
mà góc HAC = goác MNA
=> góc IAC + góc MNA = góc ICA +góc HAC = 90 độ
=> góc AKN = 90 độ
=> AI vuông góc MN
...
BA . bm + CA . CN
= HB^2 + HC^2
\geq 2HB . HC = 2AH^2
Dấu "=" xảy ra khi HB = HC <=> H \equiv I
<=> tam giác ABC vuông cân