Câu a dễ dàng chứng minh được rồi, từ câu a ta suy ra bất đẳng thức sau:$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{(a+b)^2}$
Áp dụng bđt trên ta có:
$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}\geq \frac{8}{(x-z)^2}$
$\Rightarrow P\geq \frac{8}{(x-z)^2}+\frac{8}{xz}+\frac{2}{y^3}=8(\frac{1}{(x-z)^2}+\frac{4}{4xz})+\frac{2}{y^3}$
$\geq 8.\frac{(1+2)^2}{(x-z)^2+4xz}+\frac{2}{y^3}$ (BĐT B.C.S. cộng mẫu)
$=\frac{72}{(1-y)^2}+\frac{2}{y^3}$ (do $x+y+z=1$)
$=(\frac{72}{(1-y)^2}+162)+(\frac{2}{y^3}+54+54)-270$
$\geq \frac{216}{1-y}+\frac{54}{y}-270$ (BĐT Cauchy)
$=54.(\frac{4}{1-y}+\frac{1}{y})-270\geq 54.\frac{(2+1)^2}{1-y+y}-270$(BĐT B.C.S. cộng mẫu)
$=216$
Dấu $=$ có khi $x=\frac{3+\sqrt{3}}{9};y=\frac{1}{3};z=\frac{3-\sqrt{3}}{9}$