Đặt $x=\tan t$ với $t\in\left[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right]$Ta có $\mathrm dx=\frac 1{\cos^2t}\mathrm dt$
$I_2=\int_0^{\dfrac{\pi}3}\frac{1}{(1+\tan^2t)^3\cdot\cos^2t} \mathrm dt$
$=\int_0^{\dfrac{\pi}3}\cos^4t\mathrm dt$
Biến đổi công thức lượng giác, ta dễ dàng có $\cos^4t=\frac 38+\frac{\cos 2t}{2}+\frac{\cos 4t}{8}$
Nên $I_2=\int_0^{\dfrac{\pi}3}\left(\frac 38+\frac{\cos 2t}{2}+\frac{\cos 4t}{8}\right)\mathrm dt$
$=\left(\frac {3t}8+\frac{\sin 2t}{4}+\frac{\sin 4t}{32}\right)\Bigg|_0^{\frac{\pi}3}=\frac{\pi}8+\frac{7\sqrt 3}{64}$