Đặt $\ln x=u$ ta có $\ln e=1,\ln 1=0$$I=\int_0^1u\cdot\sqrt[3]{1+u^2}\mathrm du$
Đặt $\sqrt[3]{1+u^2}=v\Rightarrow 1+u^2=v^3$, lấy vi phân ta có $2u\mathrm du=3v^2\mathrm dv$
$\Rightarrow I=\frac 32\int_1^\sqrt[3]2v^3\mathrm dv=\frac {3v^4}8\bigg|_1^{\sqrt[3]2}=\frac{6\sqrt[3]2-3}{8}$