A=[1(a+1)2+1(c+1)2]+2[1(b+1)2+1(c+1)2]A≥2(a+1)(c+1)+4(b+1)(c+1) ( Theo bất đẳng thức Cô-si)
=2.(b+1)(a+1)(b+1)(c+1)+4.(a+1)(a+1)(b+1)(c+1)
Mà (a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1
Mà ab+bc+ca=3≥33√a2b2c2⇔abc≤1
Nên (a+1)(b+1)(c+1)≤a+b+c+5
Nên, A≥2b+2+4a+4a+b+c+5
≥2a+2b+2c+6a+b+c+5
=2a+2b+2c+10−4a+b+c+5
=2−4a+b+c+5
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
3.(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2
⇔3ab+3bc+3ca≤a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
⇔a2−ab+b2−bc+c2−ca≥0
⇔a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2−2ca+a2≥0
⇔(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0
⇒ Bất đẳng thức trên luôn đúng.
Vậy (a+b+c)2≥3.(ab+bc+ca)=9
⇔a+b+c≥3
Nên, A≥2−48=32
Dấu = xảy ra ⇔a=b=c=1