Dễ thấy: Delta của phương trình (1) và phương trình (2) bằng nhau và đều bằng b2−4acVì cả 2 phương trình đều có ít nhất 1 nghiệm nên delta của 2 phương trình ≥0
Hay, b2≥4ac
⇔b≥2√ac
Công thức nghiệm của phương trình (1) là:
A=−b±√delta2a
Công thức nghiệm của phương trình (2) là:
B=−b±√delta2c
Ta có: Những phân số có mẫu âm thì phân số lớn nhất khi tử nhỏ nhất
Mà A,B là nghiệm lớn nhất của 2 phương trình nên A=−b−√delta2a và B=−b−√delta2c
Vậy, A+B=−b+√delta2a+−b+√delta2c
Vì a,c<0, nên ta đặt a=−d và c=−e
⇒A+B=(b+√delta)(12d+12e)
Mà delta ≥0 nên:
A+B≥b.(12d+12e)
Theo bđt Cô-si với a+b≥2√ab
Ta có: 12d+12e≥2√4de=1de
Nên, A+B≥b√de
Mà b≥2√ac và ac=de nên b≥2√de
Vậy, A+B≥2√de√de=2
Dấu bằng xảy ra ⇔ delta=0 và d=e ⇔ b2=4ac và a=c