Kí hiệu S là diện tích tam giác.

Ta có: $\frac{S_{OAC}}{S_{OBC}}=\frac{S_{OAM}}{S_{OBM}}$ ( vì cùng bằng tỉ số đường cao hạ từ A xuống CM / đường cao hạ từ B xuống CM)

Mà $\frac{S_{OAM}}{SOBM}=\frac{MA}{MB}=1$ (Vì hai tam giác OAM và OBM có chung đường cao hạ từ O xuống BC)

=> $\frac{S_{OAC}}{S_{OBC}}=\frac{S_{OAM}}{S_{OBM}}=\frac{MA}{MB}=1$   (1)

Tương tự ta có:

$\frac{S_{OAB}}{S_{OBC}}=\frac{S_{OAN}}{S_{OCN}}=\frac{NA}{MC}=\frac{1}{2}$       (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

        $S_{OAC}=S_{OBC}$

        $S_{OAB}=\frac{1}{2}S_{OBC}$

=> $\frac{S_{OAB}}{S_{OAC}}=\frac{\frac{1}{2}S_{OBC}}{S_{OBC}}=\frac{1}{2}$

Mặt khác ta cũng có:

$\frac{S_{OAB}}{S_{OAC}}=\frac{S_{OPB}}{S_{OPC}}=\frac{PB}{PC}$

=> $\frac{PB}{PC}=\frac{S_{OAB}}{S_{OAC}}=\frac{1}{2}$