Đk ...,y \ge0Nhận thấy $x=0 ko thõa nghiệm của hptChia 2 vế pt(1) cho x \ne0 \Rightarrow \sqrt{5\left( \frac yx \right)^2-6\left( \frac yx \right)+2}+\sqrt{13\left( \frac yx \right)^2+2\left( \frac yx \right)+2}=2\left[ \left( \frac yx \right) +1 \right]$$\Leftrightarrow \sqrt{5a^2-6a+2}+\sqrt{13a^2+2a+2}=2(a+1) (a=\frac yx)\overset{\text{Giải} \hspace{1mm} \text{pt}}{\Leftrightarrow} a=\frac 12 \Leftrightarrow x=2yThế vào pt(2):\Rightarrow 4y\sqrt{2y+2}+2\sqrt{2y+2}=8y^4\sqrt y+4y^2 \sqrt y\Leftrightarrow (2y+1)\sqrt{y+1}=y^2 \sqrt {2y}(2y^2+1)\Leftrightarrow \frac{(2y+1)\sqrt{y+1}}{y\sqrt{2y}}=y(2y^2+1)\Leftrightarrow \frac{(2y+1)\sqrt{y+1}-3y\sqrt{2y}}{y\sqrt{2y}}=y(2y^2+1)-3\Leftrightarrow \frac{(2y+1)^2(y+1)-18y^3}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}=2y^3+y-3\Leftrightarrow \frac{-(y-1)(14y^2+6y+1)}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}=(y-1)(2y^2+2y+3)\Leftrightarrow (y-1)\left[2y^2+2y+3+ \frac{14y^2+6y+1}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}\right]=0Dễ thấy biểu thức ngoặc vuông lớn >0 \forall y \ge0\Rightarrow y=1\Rightarrow \color{red}{\begin{cases}x= 2\\ y=1 \end{cases}}____________________________________________P/s : có thể dùng bđt minkowski ở pt(1) để suy ra VT \ge VP (có dấu bẳng xảy ra khi x=2y$)
Đk
...,y \ge0Nhận thấy $
y=0
ko thõa nghiệm của hptChia 2 vế pt(1)
cho y >0
\Rightarrow \sqrt{
2\left( \frac x
y \right)^2-6\left( \frac x
y \right)+
5}+\sqrt{
2\left( \frac x
y \right)^2+2\left( \frac
xy \right)+
13}=2\left[ \left( \frac x
y \right) +1 \right]$$\Leftrightarrow \sqrt{
2a^2-6a+
5}+\sqrt{
2a^2+2a+
13}=2(a+1)
(a=\frac x
y)\overset{\text{Giải} \hspace{1mm} \text{pt}}{\Leftrightarrow} a= 2 \Leftrightarrow x=2y
Thế vào pt(2)
:\Rightarrow 4y\sqrt{2y+2}+2\sqrt{2y+2}=8y^4\sqrt y+4y^2 \sqrt y
\Leftrightarrow (2y+1)\sqrt{y+1}=y^2 \sqrt {2y}(2y^2+1)\Leftrightarrow \frac{(2y+1)\sqrt{y+1}}{y\sqrt{2y}}=y(2y^2+1)
\Leftrightarrow \frac{(2y+1)\sqrt{y+1}-3y\sqrt{2y}}{y\sqrt{2y}}=y(2y^2+1)-3\Leftrightarrow \frac{(2y+1)^2(y+1)-18y^3}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}=2y^3+y-3
\Leftrightarrow \frac{-(y-1)(14y^2+6y+1)}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}=(y-1)(2y^2+2y+3)\Leftrightarrow (y-1)\left[2y^2+2y+3+ \frac{14y^2+6y+1}{\left[(2y+1)\sqrt{y+1}+3y\sqrt{2y} \right].y\sqrt{2y}}\right]=0
Dễ thấy biểu thức ngoặc vuông lớn >0 \forall y \ge0
\Rightarrow y=1\Rightarrow \color{red}{
\begin{cases}x= 2\\ y=1 \end{cases}}
____________________________________________P/s : có thể dùng bđt minkowski ở pt(1) để suy ra VT \ge VP
(có dấu bẳng xảy ra khi x=2y$)