Nếu $\sin x =0$ thì từ PT suy ra $\cos x =0$, đây là điều vô lý vì $\sin^2 x +\cos^2 x =1$.
Nếu $\sin x \ne 0$ thì chia hai vế cho $\sin x$ ta được
$\Leftrightarrow \cot^{3}x- 4 \cot^{2}x+\cos t+2=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \cot x =1\\ \cot x =\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}\end{matrix}} \right.$

Em có thể xem lời giải khác tại đây

http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/113747/gpt-dai-hoc-khoi-d-2010

Em xem ví dụ 3.3 tại đây nhé

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113293/cac-phuong-phap-giai-toan-cuc-tri-hinh-hoc-bang-vector

$A^{3}=x^{3}-3x+3A\Leftrightarrow A^3-x^3-3A+3x=0\Leftrightarrow (A-x)(A^2+Ax+x^2-3)=0$
$\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} A=x\\ A^2+Ax+x^2-3=0 \end{matrix}} \right.$
Dễ thấy rằng $x^2-4(x^2-3)=3(4-x^2)<0$ với $x =\sqrt[3]{2013}$ do đó PT $A^2+Ax+x^2-3=0$ vô nghiệm $A$.
Vậy $A=x=\sqrt[3]{2013}$.

Viết lại hệ đã cho dưới dạng
$\begin{cases}a^3=-2(b^2-2b+1)-1 \\ a^2(1+b^2)=2b \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a^3=-2(b-1)^2-1 \\ a^2=\frac{2b}{1+b^2}\end{cases}$
Từ PT thứ nhất suy ra $a^3 \le -1 \Rightarrow a \le -1$.
Từ PT thứ hai suy ra $a^2 \le 1 \Rightarrow -1 \le a \le 1$.
Từ hai điều trên suy ra $a=-1$ và do đó $b=1.$
Vậy $P=2.$

$a^2+b^2-c^2=(a+b)^2-2ab-c^2=(-c)^2-2abc-c^2=-2ab$
Tương tự như vậy ta có
$b^2+c^2-a^2=-2bc$
$a^2+c^2-b^2=-2ac$
Vậy
$A =\frac{(-2ab)(-2bc)(-2ac)}{20a^2b^2c^2}=-\frac{2}{5}$.

Xét hàm $f(x) =1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}-\cos x, \quad \forall x\in\left(0;\,\dfrac{\pi}{2}\right)$.
$f'(x)=-x+\frac{x^3}{6}+\sin x$
$f''(x)=-1+\frac{x^2}{2}+\cos x$
Theo bài ở link dưới đây ta chứng minh được rằng $f''(x)<0$ nên $f'(x)$ là hàm nghịch biến trên $x\in\left(0;\,\dfrac{\pi}{2}\right)$.
http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/118660/su-dung-dao-ham-trong-chung-minh-bat-dang-thuc

Suy ra $f'(x)<f'\left ( 0 \right )=0$ do đó $f(x)$ là hàm nghịch biến trên $x\in\left(0;\,\dfrac{\pi}{2}\right)$.
$\Rightarrow f(x)<f(0)=0$, đpcm.

Xét hàm $f(x) = \cos x + \dfrac{x^2}{2} - 1 , \ \forall x \ge 0$.
$f'(x) = x - \sin x $
$f''(x) = 1 - \cos x \ge  0  \forall x \ge 0$
Suy ra hàm $f'(x)$ đồng biến hay $f'(x) \ge f'(0)=0 \quad \forall x \ge 0$
Vậy hàm $f(x)$ đồng biến hay $f(x) \ge f(0)=0 \quad\forall x \ge 0$
$\Rightarrow \cos x+\dfrac{x^2}{2}-1\geq 0$
$\Leftrightarrow \cos x \ge 1 - \dfrac{x^2}{2}$

Xét hàm $f(x)=\sin x-x\cos x , \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )$.
Ta có $f'(x)=\cos x -(\cos x-x\sin x) =x\sin x>0, \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )$.\Rightarrow
Suy ra $f(x)$ là hàm đồng biến $\Rightarrow f(x)>f(0)=0\Rightarrow \sin x >x\cos x\Rightarrow $ đpcm.

Xét hàm $f(x)=\tan x+\sin x -2x , \quad \forall x \in \left [ 0,\frac{\pi}{2} \right )$.
Ta có : $f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2x}+\cos x-2>\dfrac{1}{\cos^2x}+\cos^2 x-2\ge 2\sqrt{\dfrac{1}{\cos^2x}.\cos^2 x}-2=0$.
Suy ra $f(x)$ là hàm đồng biến $\Rightarrow f(x)\ge f(0)=0$.

Trước hết ta chứng minh $g(x)=x-\tan x <0, \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )$.
Thật vậy, $g'(x)=1-\frac{1}{\cos^2x} <0 , \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )\Rightarrow g(x)$ là hàm nghịch biến
$\Rightarrow g(x)<g(0)=0$.
Tiếp đến xét hàm $f(x)=\frac{\sin x}{x}, \quad x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )$.
Ta có : $f'(x) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}=\frac{x-\tan x }{x^2\cos x}<0\quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )\Rightarrow f(x)$ là hàm nghịch biến
$\Rightarrow f(a)>f(b)\Rightarrow $ đpcm.

BĐT $\Leftrightarrow \frac{\tan b}{b}>\frac{\tan a}{a}\Leftrightarrow f(b) >f(a)$, trong đó $f(x)=\frac{\tan x}{x}, \quad x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )$.
Ta có : $f'(x) = \frac{\dfrac{x}{\cos^2x}-\tan x}{x^2}=\frac{x-\sin x \cos x}{x^2\cos^2 x}=\frac{2x-\sin 2x}{2x^2\cos^2 x}$.
Mặt khác ta cũng sẽ chứng minh $g(x) =2x-\sin 2x>0, \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )$.
Thật vậy, $g'(x)=2-2\cos 2x >0 , \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )\Rightarrow g(x)$ là hàm đồng biến
$\Rightarrow g(x)>g(0)=0$.
Suy ra $f'(x)>0, \quad \forall x \in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )\Rightarrow f(x)$ là hàm đồng biến
$\Rightarrow f(b) >f(a)$.

Ta cần phải chứng minh

PT 

Đến đoạn $R = \frac{2m+1}{m^2+2}$.