|
|
giải đáp
|
Tìm nghiệm nguyên cảu các phương trình sau:
|
|
|
|
a) VP chia hết cho $65 \Rightarrow 2^x - 3 $ chia hết cho $65$ hay cùng chia hết cho $5;\ 13$
Suy ra $2^x \equiv 3 mod(5),\ \ 2^x \equiv 3 mod(13)$
Từ $2^x \equiv 3 mod(5)$ suy ra $x \equiv 3 mod(4)$
Từ $2^x \equiv 3 mod(13) $ suy ra $x \equiv 4 mod(12)$ vô lý, vậy không tồn tại nghiệm nguyên
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
$\frac{sin^3x.sin3x+cos^3x.cox3x}{tan(x-\frac{\pi }{6}).tan(x+\frac{\pi }{3})}=\frac{-1}{3}$
|
|
|
|
Ta có $\tan (x - \dfrac{\pi}{6})\tan(x + \dfrac{\pi}{3}) = \tan (x -\dfrac{\pi}{6}) \cot(\dfrac{\pi}{2} - x - \dfrac{\pi}{3})$
$=\tan (x - \dfrac{\pi}{6})\cot (\dfrac{\pi}{6} - x) = - 1$
Phương trình đã cho tương đương
$\sin^3 x \sin 3x + \cos^3 x \cos 3x = \dfrac{1}{3}$
$\Leftrightarrow 3[ \cos^2 x(\cos 3x \cos x) + \sin^2 x (\sin 3x \sin x)] = 1$
$\Leftrightarrow 3[ \dfrac{1}{2}\cos^2 x (\cos 4x + \cos 2x) - \dfrac{1}{2}\sin^2 x (\cos 4x - \cos 2x)] = 1$
$\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\cos 2x ( 1 + \cos 4x) = 1$
$\Leftrightarrow 3\cos 2x (1 + 2\cos^2 2x - 1) = 2$
$\Leftrightarrow 3\cos^3 2x = 1$
Nhường bạn đọc làm nốt |
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Chứng minh bdt $tanx > x+\frac{x^3}{3} (0
|
|
|
|
Xét hàm $f(x) = \tan x - x - \dfrac{x^3}{3}, \ x \in [0,\ \dfrac{\pi}{2})$
$f'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1 - x^2 = 1 + \tan^2 x - 1 - x^2 = \tan^2 x - x^2 = (\tan x + x)(\tan x - x)$
Với $x \in [0,\ \dfrac{\pi}{2}) \Rightarrow \tan x + x > 0$
Xét $g(x) = \tan x - x, \ g'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1 \ge 0 , x \in[0,\ \dfrac{\pi}{2}) \Rightarrow g(x) \ge 0$
$\Rightarrow f'(x) > 0 \Rightarrow f(x)$ đồng biến trên $(0,\ \dfrac{\pi}{2}) \Rightarrow f(x) > f(0) = 0$ đpcm
|
|
|
|
giải đáp
|
pt lượng giác
|
|
|
|
Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết
|
|
|
|
giải đáp
|
lượng giác
|
|
|
|
Sao các bác để lại bài 2 cho ai mà không làm nốt đi
$\sqrt{3}sin 2x +cos 2x+\sqrt{3}sinx - cosx =2$
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}sin 2x+\frac{1}{2}cos 2x -(-\frac{\sqrt{3}}{2}sin x +\frac{1}{2}cosx)=1$
$\sin (2x +\frac{\pi }{6})- \sin (\dfrac{\pi }{6} -x)=1$
Đặt $\dfrac{\pi}{6} - x = t \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6} - t$ thay vào ta có
$\sin [2(\dfrac{\pi}{6} - t) + \dfrac{\pi}{6}] - \sin t = 1$
$\Leftrightarrow \sin (\dfrac{\pi}{2} - 2t) - \sin t - 1 = 0$
$\Leftrightarrow \cos 2t - \sin t - 1 = 0$
$2\sin^2 t + \sin t = 0$
Đơn giản rồi nhé (lưu ý sau khi có nghiệm $t$ cần thay lại tìm $x$ nhé
|
|
|
|
giải đáp
|
Pt mũ
|
|
|
|
Câu a.. đặt $3^x = t > 0$ phương trình đã cho đưa về $t^2 + \sqrt{t + 5} = 5$
Đặt $\sqrt{t + 5} = a \ge 0 \Rightarrow t + 5 = a^2 \ (*)$
Mặt khác $t^2 + a = 5 \ (**)$ từ $(*),\ (**)$ ta có hệ
$\begin{cases} a^2 - t = 5 \\ t^2 + a = 5 \end{cases}$ trừ 2 phương trình ta được $a^2 - t^2 - (a + t) = 0$
$\Leftrightarrow (a + t)(a - t - 1) = 0 \Rightarrow a = t + 1$ vì ($a + t > 0$)
$\Rightarrow \sqrt{t + 5} = t + 1$ do $t>0$ bình phương 2 vế ta có $t^2 + t - 4 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{\sqrt{17} - 1}{2}$
Vậy $3^x = \dfrac{\sqrt{17} - 1}{2} \Rightarrow x = \log_3 \dfrac{\sqrt{17} - 1}{2}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải bất phương trình
|
|
|
|
Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết
|
|
|
|
giải đáp
|
Giai pt
|
|
|
|
3) chỉ cần đặt $\sqrt{x^2 - 6x + 18} = t \ge 0$ phương trình đã cho đưa về
$\dfrac{t^2 - 3}{t^2 - 7} = t$ có 3 nghiệm $t = 3,\ \ t= -1 - \sqrt 2 (L),\ \ t = \sqrt 2 - 1$
Từ đó thế lại tìm được $x = 3$ |
|
|
|
giải đáp
|
Giai pt
|
|
|
|
2) đặt $\sqrt{2x + 3} = t + 2 \Rightarrow 2x + 3 = t^2 + 4t + 4 $ hay $t^2 + 4t - 2x = - 1 \ (*)$
theo bài ra ta có $x^2 + 4x + 5 = 2(t + 2) \Rightarrow x^2 + 4x - 2t = - 1 \ (**)$
Từ $(*),\ (**)$ ta đưa về hệ đối xứng loại II giải đơn giản, giải ra được $x = t = - 1$
|
|
|
|
giải đáp
|
Giai pt
|
|
|
|
1) Đặt $\sqrt{x^2 + 2x - 1} = t \ge 0$
Ta có $2(1 - x) \sqrt{x^2 + 2x - 1} = x^2 + 2x - 1 - 4x$
Hay $2(1 - x)t = t^2 - 4x$
$\Leftrightarrow t^2 - 2(1 -x)t - 4x$ có $\Delta ' = (1 - x)^2 + 4x = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
Phương trình có 2 nghiệm $t = 1 - x + x + 1 = 2$ hoặc $t = 1 - x - x - 1 = -2x$
+ $\sqrt{x^2 + 2x - 1} = 2$ được nghiệm $x = - 1 \pm \sqrt 6$
+ $\sqrt{x^2 + 2x - 1} = - 2x$ vô nghiệm
bạn check lại nghiệm nhé |
|
|
|
giải đáp
|
Sử dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức(4).
|
|
|
|
$(0, \ \dfrac{\pi}{2}) = I$
Xét hàm $f(x) = \dfrac{\sin x}{x} - \cos x, x \in I$
$f'(x) = \dfrac{x\cos x - \sin x + x^2 \cos x}{x^2}$
Xét $g(x) = x\cos x - \sin x + x^2 \cos x,\ \ g'(x) = x\sin x + x^2 \cos x > 0 \ \forall x \in I$
Suy ra $g(x)$ đồng biến, hay $g(x) > g(0) = 0 \Rightarrow f'(x) >0$
Hay $f(x)$ đồng biến, $f(x) > f(0) = 0$ có đpcm
|
|
|
|
giải đáp
|
Sử dụng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức(2).
|
|
|
|
Do điều kiện bài toán nên ta đưa về: $\dfrac{\tan a}{a} < \dfrac{\tan b}{b}$
Xét hàm $f(x) = \dfrac{\tan x }{x}, \ x \in \left(0,\ \dfrac{\pi}{2}\right)$
$f'(x) = \dfrac{x - \sin x \cos x}{x^2 \cos^2 x}$
Xét $g(x) = x - \sin x \cos x,\ g'(x) = 1 - \cos 2x \ge 0$
Vậy $g(x)$ đồng biến $g(x) > g(0) = 0 \Rightarrow f'(x) > 0$ hay hàm $f(x)$ đồng biến
Suy ra dpcm |
|