$\int_1^{e^{\frac{\pi}{2}}} \dfrac{2 + \cos (\ln x)}{x}dx =\int_1^{e^{\frac{\pi}{2}}} [2 + \cos (\ln x) ] d(\ln x) $ vì $\dfrac{dx}{x} = d(\ln x)$Đặt $\ln x = t \Rightarrow \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2 + \cos t)dt = (2t + \sin t) \bigg |_0^{\frac{\pi}{2}}$Từ thay cận nhé bạn

$\int_1^{e^{\frac{\pi}{2}}} \dfrac{2 + \cos (\ln x)}{x}dx =\int_1^{e^{\frac{\pi}{2}}} [2 + \cos (\ln x) ] d(\ln x) $ vì $\dfrac{dx}{x} = d(\ln x)$Đặt $\ln x = t \Rightarrow \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2 + \cos t)dt = (2t + \sin t) \bigg |_0^{\frac{\pi}{2}}$Từ thay cận nhé bạn

Đặt $x + \dfrac{\pi}{4} = t$ thay vào ta có$\sin (3t - \pi) = \sin (2t - \dfrac{\pi}{2}) \sin t$$\Leftrightarrow -\sin (\pi - 3t) = -\sin (\dfrac{\pi}{2} - 2t) \sin t$$\Leftrightarrow \sin 3t = \cos 2t \sin t$$\Leftrightarrow 2\sin 3t = \sin 3t - \sin t$$\Leftrightarrow \sin 3t = \sin t$$\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} 3t = t + k2\pi \\ 3t = \pi - t + k2\pi \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} t = k\pi \\ t = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2} \end{matrix} \right.\ \ k \in Z$Vậy $ \left [ \begin{matrix} x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi \\ x = \dfrac{k\pi}{2} \end{matrix} \right.\ \ k \in Z$

Đặt $x + \dfrac{\pi}{4} = t$ thay vào ta có$\sin (3t - \pi) = \sin (2t - \dfrac{\pi}{2}) \sin t$$\Leftrightarrow -\sin (\pi - 3t) = -\sin (\dfrac{\pi}{2} - 2t) \sin t$$\Leftrightarrow \sin 3t = \cos 2t \sin t$$\Leftrightarrow 2\sin 3t = \sin 3t - \sin t$$\Leftrightarrow \sin 3t = -\sin t = \sin (t + \pi)$$\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} 3t = t + \pi + k2\pi \\ 3t = \pi - t - \pi + k2\pi \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} t = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ t = \dfrac{k\pi}{2} \end{matrix} \right.\ \ k \in Z$Vậy $ \left [ \begin{matrix} x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\ x = -\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2} \end{matrix} \right.\ \ k \in Z$

Điều kiện bạn tự làm nhé.Ok?Ta có $\cos x - 2\sin x \cos x = \sqrt 3 [(1+2\sin x) (1-\sin x)]$$\Leftrightarrow \cos x - \sin 2x = \sqrt 3 [1 - \sin x + 2\sin x - 2\sin^2 x ]$$\Leftrightarrow \cos x - \sin 2x = \sqrt 3 [ \sin x + \cos 2x]$$\Leftrightarrow \cos x - \sqrt 3 \sin x = \sqrt 3 \cos 2x + \sin 2x$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \cos x - \dfrac{\sqrt 3}{2} \sin x = \dfrac{\sqrt 3}{2} \cos 2x + \dfrac{1}{2}\sin 2x$Bực mình cái latex ở web này quá >"<

Điều kiện bạn tự làm nhé.Ok?Ta có $\cos x - 2\sin x \cos x = \sqrt 3 [(1+2\sin x) (1-\sin x)]$$\Leftrightarrow \cos x - \sin 2x = \sqrt 3 [1 - \sin x + 2\sin x - 2\sin^2 x ]$$\Leftrightarrow \cos x - \sin 2x = \sqrt 3 [ \sin x + \cos 2x]$$\Leftrightarrow \cos x - \sqrt 3 \sin x = \sqrt 3 \cos 2x + \sin 2x$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \cos x - \dfrac{\sqrt 3}{2} \sin x = \dfrac{\sqrt 3}{2} \cos 2x + \dfrac{1}{2}\sin 2x$$\cos (x + \dfrac{\pi}{3}) = \cos (2x - \dfrac{\pi}{6})$ Dễ rồi tự làmBực mình cái latex ở web này quá >"<

ý 3. Xét phương trình hoành độ giao điểm ta thu được phương trình$x^3 + 2(m-1)x^2 - (3m - 2)x - 2m - 4 = 0$$\Leftrightarrow (x - 2)(x^2 + 2mx + m + 2) = 0$Để $(d): y = -2x + 4$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt trong đó có 2 điểm hoành độ $< 1$ thì phương trình$x^2 + 2mx + m + 2 =0$ phải có 2 nghiệm phân biệt, giả sử $x_1 < x_2 < 1$Ta có $(x_1 - 1)(x_2 - 1) < 0 \Leftrightarrow x_1 x_2 - (x_1 + x_2) + 1 < 0$Thế Vi-et ta có $m + 2 - 2m + 1 = 3 - m < 0 \Leftrightarrow m > 3$Cơ bản là thế, bạn check lại coi mình tính nhầm gì không (do làm nhẩm trong đầu có thể sai tính toán )

ý 3. Xét phương trình hoành độ giao điểm ta thu được phương trình$x^3 + 2(m-1)x^2 - (3m - 2)x - 2m - 4 = 0$$\Leftrightarrow (x - 2)(x^2 + 2mx + m + 2) = 0$Để $(d): y = -2x + 4$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt trong đó có 2 điểm hoành độ $< 1$ thì phương trình$x^2 + 2mx + m + 2 =0$ phải có 2 nghiệm phân biệt, giả sử $x_1 < x_2 < 1$ĐIều kiện có 2 nghiệm phân biệt là $\Delta' = m^2 - m - 2 > 0 \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} m < - 1 \\ m > 2 \end{matrix} \right.$Ta có $(x_1 - 1)(x_2 - 1) < 0 \Leftrightarrow x_1 x_2 - (x_1 + x_2) + 1 < 0$Thế Vi-et ta có $m + 2 - 2m + 1 = 3 - m < 0 \Leftrightarrow m > 3$Kết hợp điều kiện $\Delta '$ được $\ m >3$Cơ bản là thế, bạn check lại coi mình tính nhầm gì không (do làm nhẩm trong đầu có thể sai tính toán )

Ta có $a = \dfrac{9}{\sqrt{11} - \sqrt 2} = \dfrac{9(\sqrt{11} + \sqrt 2)}{11 - 2} = \sqrt{11} + \sqrt 2$$b = \dfrac{6}{3 - \sqrt 3} = \dfrac{6(3 + \sqrt 3)}{9 - 3} = 3 + \sqrt 3$$a^2 = 13 + 2\sqrt{22}, \ \ b^2 = 12 + 6\sqrt 3 = 13 + 6\sqrt 3 - 1$Ta chỉ cần so sánh $2\sqrt{22}$ với $6\sqrt 3 - 1$Giả sử $2\sqrt{22} > 6\sqrt 3 - 1 \Rightarrow 88 > 109 - 2\sqrt 3$$\Leftrightarrow 2\sqrt 3 > 21$ vô lý, vậy $2\sqrt{22} < 6\sqrt 3 - 1$Hay $b^2 > a^2 \Rightarrow b > a$

Ta có $a = \dfrac{9}{\sqrt{11} - \sqrt 2} = \dfrac{9(\sqrt{11} + \sqrt 2)}{11 - 2} = \sqrt{11} + \sqrt 2$$b = \dfrac{6}{3 - \sqrt 3} = \dfrac{6(3 + \sqrt 3)}{9 - 3} = 3 + \sqrt 3$$a^2 = 13 + 2\sqrt{22}, \ \ b^2 = 12 + 6\sqrt 3 = 13 + 6\sqrt 3 - 1$Ta chỉ cần so sánh $2\sqrt{22}$ với $6\sqrt 3 - 1$Giả sử $2\sqrt{22} > 6\sqrt 3 - 1 \Rightarrow 88 > 109 - 12\sqrt 3$$\Leftrightarrow 12\sqrt 3 > 21$ vô lý, vậy $2\sqrt{22} < 6\sqrt 3 - 1$Hay $b^2 > a^2 \Rightarrow b > a$

Ta có $a = \dfrac{9}{\sqrt{11} - \sqrt 2} = \dfrac{9(\sqrt{11} + \sqrt 2)}{11 - 2} = \sqrt{11} + \sqrt 2$$b = \dfrac{6}{3 - \sqrt 3} = \dfrac{6(3 + \sqrt 3)}{9 - 3} = 3 + \sqrt 3$$a^2 = 13 + 2\sqrt{22}, \ \ b^2 = 12 + 6\sqrt 3 = 13 + \sqrt 3 - 1$Ta chỉ cần so sánh $2\sqrt{22}$ với $6\sqrt 3 - 1$Giả sử $2\sqrt{22} > 6\sqrt 3 - 1 \Rightarrow 88 > 109 - 2\sqrt 3$$\Leftrightarrow 2\sqrt 3 > 21$ vô lý, vậy $2\sqrt{22} < 6\sqrt 3 - 1$Hay $b^2 > a^2 \Rightarrow b > a$

Ta có $a = \dfrac{9}{\sqrt{11} - \sqrt 2} = \dfrac{9(\sqrt{11} + \sqrt 2)}{11 - 2} = \sqrt{11} + \sqrt 2$$b = \dfrac{6}{3 - \sqrt 3} = \dfrac{6(3 + \sqrt 3)}{9 - 3} = 3 + \sqrt 3$$a^2 = 13 + 2\sqrt{22}, \ \ b^2 = 12 + 6\sqrt 3 = 13 + 6\sqrt 3 - 1$Ta chỉ cần so sánh $2\sqrt{22}$ với $6\sqrt 3 - 1$Giả sử $2\sqrt{22} > 6\sqrt 3 - 1 \Rightarrow 88 > 109 - 2\sqrt 3$$\Leftrightarrow 2\sqrt 3 > 21$ vô lý, vậy $2\sqrt{22} < 6\sqrt 3 - 1$Hay $b^2 > a^2 \Rightarrow b > a$

Bài nè hình như tôi làm cho bạn rồi mà. Phân tích qua hướng làm ( bạn nên tự mầy mò mà làm mới khá lên được )$I = \int \dfrac{\sin x \cos^3 x}{1 + \cos^2 x}dx = -\int \dfrac{\cos^3 x d(\cos x)}{1 + \cos^2 x} = -\int \dfrac{t^3 dt}{1 + t^2}$Tới đó chia đa thức mà làm

Bài nè hình như tôi làm cho bạn rồi mà. Phân tích qua hướng làm ( bạn nên tự mầy mò mà làm mới khá lên được )$I = \int \dfrac{\sin x \cos^3 x}{1 + \cos^2 x}dx = -\int \dfrac{\cos^3 x d(\cos x)}{1 + \cos^2 x} = -\int \dfrac{t^3 dt}{1 + t^2}$Tới đó chia đa thức mà làm...tôi làm tiếp$= -\int \bigg ( t - \dfrac{t}{t^2 + 1} \bigg ) dt = -\int t dt + \int \dfrac{tdt}{t^2 + 1}$$= -\dfrac{t^2}{2} + \dfrac{1}{2}\int \dfrac{d(t^2 + 1)}{t^2 + 1} = -\dfrac{t^2}{2} + \dfrac{1}{2}\ln (t^2 + 1) + C$Chắc việc bạn tự tính cận không khó quá đúng không

Giải tạm cái 2 đi, 1 chưa nghĩ ra cách hay$(x^2 - 1) + (\sqrt{2 - x} - 1) = 0$$\Leftrightarrow (x-1)(x+1) - \dfrac{x - 1}{\sqrt{2 -x} + 1}$Có 1 nghiệm $x = 1$ phương trình còn lại là$x + 1 - \dfrac{1}{\sqrt{2 -x} + 1}$ đặt $\sqrt{2 - x} = t \ge 0$ đưa về$3 - t^2 + \dfrac{1}{t + 1} = 0$ có nghiệm đẹp đấy nên tự làm nốt

Giải tạm cái 2 đi, 1 chưa nghĩ ra cách hay$(x^2 - 1) + (\sqrt{2 - x} - 1) = 0$$\Leftrightarrow (x-1)(x+1) - \dfrac{x - 1}{\sqrt{2 -x} + 1}$Có 1 nghiệm $x = 1$ phương trình còn lại là$x + 1 - \dfrac{1}{\sqrt{2 -x} + 1}$ đặt $\sqrt{2 - x} = t \ge 0$ đưa về$3 - t^2 - \dfrac{1}{t + 1} = 0$ có nghiệm đẹp đấy nên tự làm nốt

Phân tích $\dfrac{2\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x}dx = -\dfrac{2\cos^2 x \ d(\cos x)}{1 + \cos x}$Đặt $1 + \cos x = t \Rightarrow I = 2 \int_{1}^{2} \dfrac{(t - 1)^2}{t}dt$Quá đơn giản rồi

Phân tích $\dfrac{2\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x}dx = -\dfrac{2\cos^2 x \ d(\cos x)}{1 + \cos x}$Đưa về $-\displaystyle \int \dfrac{2t^2 dt}{1 + t}$Quá đơn giản rồi

Có mấy cách biến đổi như sau* Cách 1: Phương trình viết lại thành $(\sqrt{\sin x} + \dfrac{1}{2})^2 = (\cos x - \dfrac{1}{2})^2$* Cách 2: Phương trình viết dạng $\sin x + \sqrt{\sin x} + 1 = (\cos x)^2 + (-\cos x) + 1$ sau đó xét hàm $f(t) = t^2 + t + 1$* Cách 3: Phương trình viết $\sqrt{\sin x} + \cos x + \sin x - \cos^2 x$$\Leftrightarrow (\sqrt{\sin x} + \cos x)(\sqrt{\sin x} - \cos x + 1) = 0$

Có mấy cách biến đổi như sau* Cách 1: Phương trình viết lại thành $(\sqrt{\sin x} + \dfrac{1}{2})^2 = (\cos x - \dfrac{1}{2})^2$* Cách 2: Phương trình viết dạng $\sin x + \sqrt{\sin x} + 1 = (\cos x)^2 + (-\cos x) + 1$ sau đó xét hàm $f(t) = t^2 + t + 1$* Cách 3: Phương trình viết $\sqrt{\sin x} + \cos x + \sin x - \cos^2 x = 0$$\Leftrightarrow (\sqrt{\sin x} + \cos x)(\sqrt{\sin x} - \cos x + 1) = 0$

Có mấy cách biến đổi như sau* Cách 1: Phương trình viết lại thành $(\sqrt{\sin x} + \dfrac{1}{2})^2 = (\cos x - \dfrac{1}{2})^2$* Cách 2: Phương trình viết dạng $\sin x + \sqrt{\sin x} + 1 = (\cos x)^2 + (-\cos x) + 1$ sau đó xét hàm $f(t) = t^2 + t + 1$* Cách 3: Phương trình viết $\sqrt{\sin x} + \cos x + \sin x - \cos^2 x$$\Leftrightarrow (\sqrt{\sin x} + \cos x)(\sqrt{\sin x} - \cos x + 1) = 0$

Có mấy cách biến đổi như sau* Cách 1: Phương trình viết lại thành $(\sqrt{\sin x} + \dfrac{1}{2})^2 = (\cos x - \dfrac{1}{2})^2$* Cách 2: Phương trình viết dạng $\sin x + \sqrt{\sin x} + 1 = (\cos x)^2 + (-\cos x) + 1$ sau đó xét hàm $f(t) = t^2 + t + 1$* Cách 3: Phương trình viết $\sqrt{\sin x} + \cos x + \sin x - \cos^2 x$$\Leftrightarrow (\sqrt{\sin x} + \cos x)(\sqrt{\sin x} - \cos x + 1) = 0$

Điều kiện thỏa mãn bài ra là$\begin{cases} y' \le 0 \ \forall x \in [x_1,\ x_2] \\ x_1 - x_2 = 4 \end{cases} $$\Leftrightarrow \begin{cases} \Delta ' \le 0 \\ m + 1 > 0 \\ (x_1 - x_2)^2 = 16 \end{cases}$Đáp số $m = \dfrac{7 + \sqrt{61}}{6}$

Điều kiện thỏa mãn bài ra là$\begin{cases} y' \le 0 \ \forall x \in [x_1,\ x_2] \\ x_1 - x_2 = 4 \end{cases} $$\Leftrightarrow \begin{cases} \Delta ' \le 0 \\ m+1 > 0 \\ (x_1 - x_2)^2 = 16 \end{cases}$Đáp số $m = \dfrac{7 + \sqrt{61}}{6}$

Điều kiện thỏa mãn bài ra là$\begin{cases} y' \le 0 \ \forall x \in [x_1,\ x_2] \\ x_1 - x_2 = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \Delta' \le 0 \\ m + 1 >0 \\ (x_1 - x_2)^2 = 16 \end{cases}$Đáp số $m = \dfrac{7 + \sqrt{61}}{6}$

Điều kiện thỏa mãn bài ra là$\begin{cases} y' \le 0 \ \forall x \in [x_1,\ x_2] \\ x_1 - x_2 = 4 \end{cases} $$\Leftrightarrow \begin{cases} \Delta ' \le 0 \\ m + 1 > 0 \\ (x_1 - x_2)^2 = 16 \end{cases}$Đáp số $m = \dfrac{7 + \sqrt{61}}{6}$

Tìm lại GTNN của biểu thức: $A=x^2+3+\frac{1}{x^2+3}$$A= \bigg ( \dfrac{x^2 + 3}{9} + \dfrac{1}{x^2 + 3} \bigg ) + \dfrac{8(x^2 + 3)}{9}$$ \geq 2 \sqrt{ \dfrac{x^2 + 3}{9} \dfrac{1}{x^2 + 3}} + \dfrac{8.3}{9} = \dfrac{10}{3}$Dấu = khi chỉ khi $ x^2 + 3 = 3 \Lefftrightarrow x = 0 $

Tìm lại GTNN của biểu thức: $A=x^2+3+\frac{1}{x^2+3}$$A= \bigg ( \dfrac{x^2 + 3}{9} + \dfrac{1}{x^2 + 3} \bigg ) + \dfrac{8(x^2 + 3)}{9}$$ \geq 2 \sqrt{ \dfrac{x^2 + 3}{9} \dfrac{1}{x^2 + 3}} + \dfrac{8.3}{9} = \dfrac{10}{3}$Dấu = khi chỉ khi $ x^2 + 3 = 3 \Leftrightarrow x = 0 $