Ta có từ (1): $x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 3z^3 - 3xyz$ suy ra $x^3 +y^3+z^3 - 3xyz$ chia hết cho 3. mà $x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz -zx)$ (#) Ta có 2 trường hợp: a) Nếu $x+y+z$chia hết cho 3. suy ra $x+y+z=3$ (Do $x+y+z$ nguyên tố). mà từ (1) suy ra $x=y=z=1$ ( tự chứng minh lấy :P nhé) b) Nếu $x+y+z$ không chia hết cho 3 ta suy ra $(x^2+y^2+z^2 - xy - yz -zx)$ chia hết cho 3. Mà ta có: $x^2+y^2+z^2 - xy - yz -zx = (x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx)$ $3(xy+yz+zx)$ chia hết cho 3 suy ra $(x+y+z)^2$chia hết cho 3. mà do $x+y+z$ là số nguyên tố và từ (b) suy ra điều vô lý. Vậy ta tìm được $x=y=z=1$

Ta có từ (1): $x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 3z^3 - 3xyz$ suy ra $x^3 +y^3+z^3 - 3xyz$ chia hết cho 3. mà $x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz -zx)$ (#) Ta có 2 trường hợp: a) Nếu $x+y+z$chia hết cho 3. suy ra $x+y+z=3$ (Do $x+y+z$ nguyên tố). mà từ (1) suy ra $x=y=z=1$ ( tự chứng minh lấy :P ) b) Nếu $x+y+z$ không chia hết cho 3 ta suy ra $(x^2+y^2+z^2 - xy - yz -zx)$ chia hết cho 3. Mà ta có: $x^2+y^2+z^2 - xy - yz -zx = (x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx)$ $3(xy+yz+zx)$ chia hết cho 3 suy ra $(x+y+z)^2$chia hết cho 3. mà do $x+y+z$ là số nguyên tố và từ (b) suy ra điều vô lý. Vậy ta tìm được $x=y=z=1$