Câu f)$sinA+sinB+sinC=sinA+sinB+sin(A+B)$$=2sin\frac{A+B}2cos\frac{A-B}2+2sin\frac{A+B}2cos\frac{A+B}2$$=2sin\frac{A+B}2[cos\frac{A-B}2+cos\frac{A+B}2]$$=2cos\frac{C}2.2cos\frac{A}2.cos\frac{B}2$$=4cos\frac{A}2cos\frac{B}2cos\frac{C}2$

Câu f)$\sin A+\sin B+\sin C=\sin A+\sin B+\sin(A+B)\\=2\sin\dfrac{A+B}2\cos\frac{A-B}2+2\sin\frac{A+B}2\cos\frac{A+B}2\\=2\sin\frac{A+B}2\left(\cos\frac{A-B}2+\cos\frac{A+B}2\right)\\=2\cos\frac{C}2\times2\cos\frac{A}2\cos\frac{B}2\\=4\cos\frac{A}2\cos\frac{B}2\cos\frac{C}2$

Câu g) Có $cos2A+cos2B+cos2C+1=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos^2C$$=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos^2(A+B)$$=2cos(A+B)[cos(A-B)+cos(A+B)]$$=2cos(A+B).2cosAcosB$$=-4cosAcosBcosC$$\Rightarrow cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC$

Câu g) Có $\cos2A+\cos2B+\cos2C+1=2\cos(A+B)\cos(A-B)+2\cos^2C\\=2\cos(A+B)\cos(A-B)+2\cos^2(A+B)\\=2\cos(A+B)[\cos(A-B)+\cos(A+B)]\\=2\cos(A+B)\times2\cos A\cos B\\=-4\cos A\cos B\cos C\\\Rightarrow \cos2A+\cos2B+\cos2C=-1-4\cos A\cos B\cos C$

Câu h)Có $cosA+cosB+cosC-1=2cos\frac{A+B}2cos\frac{A-B}2+2sin^2\frac{C}2$$=2sin\frac{A+B}2sin\frac{A-B}2+2sin^2\frac{A+B}2$4$=2sin\frac{A+B}2[sin\frac{A-B}2+sin\frac{A+B}2]$$=2sin\frac{C}2.2sin\frac{A}2.sin\frac{B}2$$=4sin\frac{A}2sin\frac{B}2sin\frac{C}2$$\Rightarrow cosA+cosB+cosC=1+4sin\frac{A}2sin\frac{B}2sin\frac{C}2$

Câu h)Có $\cos A+\cos B+\cos C-1=2\cos\dfrac{A+B}2\cos\dfrac{A-B}2+2\sin^2\dfrac{C}2\\=2\sin\dfrac{A+B}2\sin\dfrac{A-B}2+2\sin^2\dfrac{A+B}2\\=2\sin\dfrac{A+B}2\left(\sin\dfrac{A-B}2+\sin\frac{A+B}2\right)\\=2\sin\dfrac{C}2\times2\sin\frac{A}2\sin\frac{B}2\\=4\sin\frac{A}2\sin\frac{B}2\sin\frac{C}2\\\Rightarrow \cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\dfrac{A}2\sin\frac{B}2\sin\frac{C}2$

Câu i)$sin^2A+sin^2B+sin^2C=\frac{1-cos2A+1-cos2B+1}2+1-cos^2C$$=1+\frac{1}2(cos2A+cos2B)+1-cos^2C$$=2+cos(A+B)cos(A-B)-cos^2C$$=2+cos(A+B).cos(A-B)-cos^2(A+B)$$=2+cos(A+B)[cos(A-B)-cos(A+B)]$$=2-cos(A+B).2cosAcosB$$=2+2cosAcosBcosC$

Câu i)$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=\dfrac{1-\cos2A+1-\cos2B+1}2+1-\cos^2C\\=1+\dfrac{1}2\left(\cos2A+\cos2B\right)+1-\cos^2C\\=2+\cos\left(A+B\right)\cos(A-B)-\cos^2C\\=2+\cos(A+B)\cos(A-B)-\cos^2(A+B)\\=2+\cos\left(A+B\right)\left[\cos(A-B)-\cos(A+B)\right]\\=2-\cos(A+B)\times2\cos A\cos B\\=2+2\cos A\cos B\cos C$

Giống câu kia..... $A+B=\pi-C\Rightarrow \cos C=-\cos (A+B)$

Giống câu kia..... $A+B=\pi-C\Rightarrow \cos C=-\cos \left(A+B\right)$

Câu này chắc nhằm đề: $\frac{A}{2}+\frac{B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\Rightarrow \sin (\frac{A+B}{2})=\sin (\frac{\pi-C}{2})=\cos \frac{C}{2}$

Câu này chắc nhằm đề: $\frac{A}{2}+\frac{B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\Rightarrow \sin \left(\dfrac{A+B}{2}\right)=\sin \left(\frac{\pi-C}{2}\right)=\cos \frac{C}{2}$

Bất đẳng thức

1, Cho $\Delta ABC$ thoả mãn: $3\left(\cos B+2\sin C\right)+4\left(\sin B+2\cos C\right)=15.$ Chứng minh rằng $\Delta ABC$ vuông.2, Cho ba số thực $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $abc=1$ và $a+b+c =\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$ Chứng minh rằng: a, $\left(a-1\right)(b-1)(c-1) >0$ b, Trong ba số $a,\,b,\,c $ có đúng một số lớn hơn $1.$3, Cho ba số $x,\,y,\,z>0$ thỏa mãn x$yz=1.$ Chứng minh rằng: $x^3+y^3+z^3\geq x+y+z.$4. Cho $a,\,b,\,c$ là ba số dương thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2$ . Chứng minh rằng: $abc\leq \frac{1}{8}$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức

1, Cho $\Delta ABC$ thoả mãn: $3\left(\cos B+2\sin C\right)+4\left(\sin B+2\cos C\right)=15.$ Chứng minh rằng $\Delta ABC$ vuông.2, Cho ba số thực $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $abc=1$ và $a+b+c =\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$ Chứng minh rằng: a, $\left(a-1\right)(b-1)(c-1) >0$ b, Trong ba số $a,\,b,\,c $ có đúng một số lớn hơn $1.$3, Cho ba số $x,\,y,\,z>0$ thỏa mãn x$yz=1.$ Chứng minh rằng: $x^3+y^3+z^3\geq x+y+z.$4. Cho $a,\,b,\,c$ là ba số dương thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2$ . Chứng minh rằng: $abc\leq \frac{1}{8}$

Bất đẳng thức

bất đẳng thức

1, Cho tam giác ABC thoả mãn: 3(cosB+2sinC) + 4(sinB+2cosC)=15. CMR: Tam giác ABC vuông.2, Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn abc=1 và a+b+c = $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ CMR: a, (a-1)(b-1)(c-1) >0 b, Trong 3 số a,b,c có đúng 1 số lớn hơn 1.3, Cho 3 số x,y,z>0 Thỏa mãn xyz=1. CMR: $x^3+y^3+z^3\geq x+y+z$4. Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn đk $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2$ . CMR: abc$\leq \frac{1}{8}$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức

1, Cho $\Delta ABC$ thoả mãn: $3\left(\cos B+2\sin C\right)+4\left(\sin B+2\cos C\right)=15.$ Chứng minh rằng $\Delta ABC$ vuông.2, Cho ba số thực $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $abc=1$ và $a+b+c =\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$ Chứng minh rằng: a, $\left(a-1\right)(b-1)(c-1) >0$ b, Trong ba số $a,\,b,\,c $ có đúng một số lớn hơn $1.$3, Cho ba số $x,\,y,\,z>0$ thỏa mãn x$yz=1.$ Chứng minh rằng: $x^3+y^3+z^3\geq x+y+z.$4. Cho $a,\,b,\,c$ là ba số dương thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2$ . Chứng minh rằng: $abc\leq \frac{1}{8}$

Bất đẳng thức

Câu a)$PT \Leftrightarrow 12\left(\sin x-\cos x\right)-12-\sin2x=0$ $\Leftrightarrow 12(\sin x-\cos x) +1-\sin2x -13=0$ $\Leftrightarrow \left(\sin^2x+\cos^2x-sin2x\right)+12\left(\sin x-\cos x\right)-13=0$ $\Leftrightarrow \left(\sin x-\cos x\right)^2+12\left(\sin x-\cos x\right)-13=0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1} \sin x-\cos x=-13\,\,\mbox{(loại)}\\\sin x-\cos x=1 \end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1}x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \\ x=\pi+k2\pi \end{array}\right.$

Câu a)$PT \Leftrightarrow 12\left(\sin x-\cos x\right)-12-\sin2x=0$ $\Leftrightarrow 12(\sin x-\cos x) +1-\sin2x -13=0$ $\Leftrightarrow \left(\sin^2x+\cos^2x-sin2x\right)+12\left(\sin x-\cos x\right)-13=0$ $\Leftrightarrow \left(\sin x-\cos x\right)^2+12\left(\sin x-\cos x\right)-13=0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1} \sin x-\cos x=-13\,\,\mbox{(loại)}\\\sin x-\cos x=1 \end{array}\right.$ $\Rightarrow \left[\begin{array}{1}x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \\ x=\pi+k2\pi \end{array}\right.$

Câu a)$PT \Leftrightarrow 12\left(\sin x-\cos x\right)-12-\sin2x=0$ $\Leftrightarrow 12(\sin x-\cos x) +1-\sin2x -13=0$ $\Leftrightarrow \left(\sin^2x+\cos^2x-sin2x\right)+12\left(\sin x-\cos x\right)-13=0$ $\Leftrightarrow \left(\sin x-\cos x\right)^2+12\left(\sin x-\cos x\right)-13=0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1} \sin x-\cos x=-13\,\,\mbox{(loại)}\\\sin x-\cos x=1 \end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1}x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \\ x=\pi+k2\pi \end{array}\right.$

Câu a)$PT \Leftrightarrow 12\left(\sin x-\cos x\right)-12-\sin2x=0$ $\Leftrightarrow 12(\sin x-\cos x) +1-\sin2x -13=0$ $\Leftrightarrow \left(\sin^2x+\cos^2x-sin2x\right)+12\left(\sin x-\cos x\right)-13=0$ $\Leftrightarrow \left(\sin x-\cos x\right)^2+12\left(\sin x-\cos x\right)-13=0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1} \sin x-\cos x=-13\,\,\mbox{(loại)}\\\sin x-\cos x=1 \end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1}x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \\ x=\pi+k2\pi \end{array}\right.$

Câu a)$PT \Leftrightarrow 12(sinx-cosx)-12-sin2x=0$$\Leftrightarrow 12(sinx-cosx) +1-sin2x -13=0$$\Leftrightarrow (sin^2x+cos^2x-sin2x)+12(sinx-cosx)-13=0$$\Leftrightarrow (sinx-cosx)^2+12(sinx-cosx)-13=0$$\Leftrightarrow sinx-cosx=-13 (loại)$Hoặc $sinx-cos =1$$\Rightarrow x=\frac{\pi}2+2k\pi$hoặc $x=\pi+2k\pi$

Câu a)$PT \Leftrightarrow 12\left(\sin x-\cos x\right)-12-\sin2x=0$ $\Leftrightarrow 12(\sin x-\cos x) +1-\sin2x -13=0$ $\Leftrightarrow \left(\sin^2x+\cos^2x-sin2x\right)+12\left(\sin x-\cos x\right)-13=0$ $\Leftrightarrow \left(\sin x-\cos x\right)^2+12\left(\sin x-\cos x\right)-13=0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1} \sin x-\cos x=-13\,\,\mbox{(loại)}\\\sin x-\cos x=1 \end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1}x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \\ x=\pi+k2\pi \end{array}\right.$

Câu b)đk: $cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ \frac{\pi}2 + kπ (k ∈ Z)$$pt ⇔ sinx + cosx = 2\sqrt2.sinx.cosx$đặt $t = sinx + cosx = \sqrt2.sin(x + π/4) → -\sqrt2 ≤ t ≤ \sqrt2 (*)$$\Rightarrow t² = sin²x + 2sinx.cosx + cos²x $$\Rightarrow 2sinx.cosx = t² - 1,$ thay vào pt ta có:$t = \sqrt2(t² - 1)$$⇔ t² - \sqrt2.t - 1 = 0$$⇔ t=\frac{\sqrt2+\sqrt6}2$(loại)Hoặc $t = \frac{\sqrt2 - \sqrt6}2$ : t/m đk (*)$\Rightarrow \sqrt2.sin(x + π/4) = (\sqrt2 - \sqrt6)/2$$sin(x+\frac{\pi}4)=\frac{1-\sqrt3}2$Đến đây bạn giải bình thường

Câu b)đk: $\cos x\neq 0 \Leftrightarrow x ≠ \dfrac{\pi}2+k\pi\,\,(k\in\mathbb{Z})$$pt\Leftrightarrow \sin x + \cos x = 2\sqrt2\sin x\cos x$đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) \Rightarrow -\sqrt2 ≤ t ≤ \sqrt2\,\,(*)$$\Rightarrow t^2 = \sin^2x + 2\sin x\cos x + \cos^2x $$\Rightarrow 2\sin x\cos x = t^2 - 1,$ thay vào pt ta có: $t=\sqrt{2}\left(t^2-1\right)$$\Leftrightarrow t^2-t\sqrt{2}-1=0$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1} t=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\,\,\mbox{(loại)}\\t=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\,\,\mbox{(thỏa mãn}\,(*)\mbox{)} \end{array}\right.$$\Rightarrow \sqrt2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt2 - \sqrt6}{2}$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1-\sqrt3}2$Đến đây bạn giải bình thường

Cực trị.

Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2\neq 0$ và $\left(a+b+c\right)^2=2\left(a^2+b^2+c^2\right).$ Tìm Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}$$

GTLN, GTNN

Cực trị.

Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2\neq 0$ và $\left(a+b+c\right)^2=2\left(a^2+b^2+c^2\right).$ Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}$$

GTLN, GTNN

$cos x + \frac{1}{cosx} + sin x + \frac{1}{sinx} = \frac{10}3$đk: $sinx ≠ 0$ và $cosx ≠ 0 \Rightarrow sin2x ≠ 0 \Rightarrow x ≠ kπ/2 (k ∈ Z)$$pt ⇔ (sinx + cosx) + \frac{sinx + cosx}{sinx.cosx} = \frac{10}3$$⇔ 3(sinx + cosx).sinx.cosx + 3(sinx + cosx) = 10sinx.cosx$$⇔ 3(sinx + cosx)(sinx.cosx + 1 ) = 10sinx.cosx (✽)$đặt $t = sinx + cosx = \sqrt2.sin(x + π/4) \Rightarrow -\sqrt2 ≤ t ≤ \sqrt2 (*)$có: $t² = sin²x + 2sinx.cosx + cos²x \Rightarrow sinx.cosx = \frac{t² - 1}2$Thay vào pt (✽) ta có:$3t(t² + 1) = 10(t² - 1)$$⇔ 3t³ - 10t² + 3t + 10 = 0$$⇔ 3t³ - 6t² - 4t² + 8t - 5t + 10 = 0$$⇔ 3t²(t - 2) - 4t(t - 2) - 5(t - 2) = 0$$⇔ (t - 2)(3t² - 4t - 5) = 0$Đến đây bạn tự giải ra nha

$\cos x+\dfrac{1}{\cos x}+\sin x+\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{10}3$đk: $\sin x\neq 0$ và $\cos x\neq0 \Rightarrow \sin2x\neq0 \Rightarrow x\neq \frac{k\pi}{2}\,\,\left(k\in\mathbb{Z}\right)$Pt: $\Leftrightarrow \left(\sin x+\cos x\right)+\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x} = \dfrac{10}3$ $\Leftrightarrow 3(\sin x+\cos x)\sin x\cos x+3\left(\sin x+\cos x\right)=10\sin x\cos x$ $\Leftrightarrow 3\left(\sin x+\cos x\right)\left(\sin x\cos x+1\right)=10\sin x\cos x\,\,\left(✽\right)$đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) \Rightarrow -\sqrt2 ≤ t ≤ \sqrt2\,\,\left(*\right)$có: $t^2=\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x \Rightarrow \sin x\cos x=\dfrac{t^2 - 1}2$Thay vào pt $\left(✽\right)$ ta có: $3t\left(t^2+1\right)=10\left(t^2-1\right)$ $\Leftrightarrow 3t^3-10t^2+3t+10=0$ $\Leftrightarrow 3t^3-6t^2-4t^2+8t-5t+10=0$ $\Leftrightarrow 3t^2\left(t - 2\right)-4t\left(t - 2\right) - 5\left(t - 2\right) = 0$ $\Leftrightarrow \left(t - 2\right)\left(3t² - 4t - 5\right) = 0$Đến đây bạn tự giải ra nha

Câu d)$\Leftrightarrow 1+(sin2x + cos2x)(1-sin2x.cos2x)= 3sin2x.cos2x$Đặt $sin2x + cos2x = t (-2<t<2) \Rightarrow sin2x.cos2x = \frac{t^2 - 1}{2}$Có: $1+ t(1-\frac{t^2-1}2)=3\frac{t^2-1}2$Giải t rồi suy ra x

Câu d)$\Leftrightarrow 1+\left(\sin2x+\cos2x\right)\left(1-\sin2x\cos2x\right)=3\sin2x\cos2x$Đặt $\sin2x+\cos2x=t,\,\,\left(-2<t<2\right)\Rightarrow \sin2x\cos2x=\dfrac{t^2-1}{2}$Có: $1+ t\left(1-\dfrac{t^2-1}2\right)=3\times\frac{t^2-1}2$Giải $t$ rồi suy ra $x.$